Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observamos en primer lugar que no pueden ser uno de los números par y otro impar ya que entonces uno de los dos factores sería un impar mayor que $1$. Además, si $a$ y $b$ fueran pares, entonces dividiendo ambos entre $2$, tendríamos otra solución. Todo esto nos dice que podemos suponer que $a$ y $b$ son impares, aunque luego tendremos que multiplicar las soluciones obtenidas por una potencia de $2$ arbitraria.

Ahora bien, $a+3b$ y $b+3a$ deben ser potencias de $2$, luego el problema se reduce al sistema lineal \[\left\{\begin{array}{l}a+3b=2^n,\\b+3a=2^m.\end{array}\right.\] El sistema es compatible determinado y podemos despejar fácilmente \[a=3\cdot 2^{m-3}-2^{n-3},\qquad b=3\cdot 2^{n-3}-2^{m-3}.\] Por un lado, si $m=n=2$, obtenemos la solución $a=b=1$. En otro caso, podemos suponer que $m\geq n\geq 3$. Para que $a$ y $b$ sean impares, tiene que ser $n=3$ y $m\geq 4$, lo que nos da $b=3-2^{m-3}$ y esto lleva necesariamente a que $m=4$ ya que $b$ es positivo, de donde se deduce la solución $(a,b)=(5,1)$. También tendríamos $(a,b)=(1,5)$ por simetría.

Juntando todo lo anterior, llegamos a que \[(a,b)=(2^k,2^k),\qquad (a,b)=(2^k,5\cdot 2^k)\quad\text{o bien}\quad (a,b)=(5\cdot 2^k,2^k)\] para algún entero no negativo $k$.

Solución. No puede haber dos de los primos que sean iguales. Por ejemplo, si $p=q$, entonces el cuadrado queda $(p^2+p)^2(r^2+r)$, luego $r^2+r$ tendría que ser a su vez cuadrado perfecto, pero está estrictamente entre dos cuadrados consecutivos ($r^2$ y $(r+1)^2=r^2+2r+1$). Podemos suponer entonces que $p\lt q\lt r$ sin pérdida de generalidad.

Factorizamos el número del enunciado como \[p(p+1)q(q+1)r(r+1)=n^2.\] Como $r$ es primo y divide a $n^2$, también lo dividirá $r^2$. En otras palabras, alguno de los factores $p,p+1,q,q+1,r+1$ tendrá que ser divisible por $r$. No obstante, $r+1$ no lo es por diferir en una unidad con $r$ y los otros factores $p,p+1,q,q+1$ no pueden tener un factor primo mayor que ellos mismos salvo que $p+1$ o $q+1$ fueran también primos, pero esto último nos diría que $r=3$ y $p=2$ o $q=2$, luego los primos no serían distintos, como hemos supuesto.