Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución.

1. Sea $n$ un entero positivo. El primer término que tiene $n$ cifras, debe tener su cifra más significativa igual a $1$, por lo que podemos asegurar que está entre $10^{n-1}$ y $2\cdot 10^{n-1}$. El siguiente término estará entre $2\cdot 10^{n-1}$ y $4\cdot 10^{n-1}$, el siguiente a este estará entre $4\cdot 10^{n-1}$ y $8\cdot 10^{n-1}$. Esto nos da tres términos consecutivos de $n$ cifras (para cualquier $n$) luego la respuesta a este apartado es negativa.
2. Siguiendo con el razonamiento anterior, el siguiente número está entre $8\cdot 10^{n-1}$ y $16\cdot 10^{n-1}$, que podría tener o no $n$ cifras. Lo que es seguro es que el quinto está entre $16\cdot 10^{n-1}$ y $32\cdot 10^{n-1}$ y tiene necesariamente $n+1$ cifras. Esto nos da una respuesta también negativa a este apartado.
3. Siguiendo aún más, tenemos que el sexto número está entre $32\cdot 10^{n-1}$ y $64\cdot 10^{n-1}$ y el séptimo entre $64\cdot 10^{n-1}$ y $128\cdot 10^{n-1}$. El octavo ya tendrá $n+2$ cifras, luego puede haber máximo $7$ consecutivos con $n$ y $n+1$ cifras. La respuesta es, por lo tanto, negativa de nuevo.
4. Supongamos que $2^k,2^{k+1},\ldots,2^{k+r}$ es una cadena de longitud máxima de potencias de dos de forma que no haya cuatro con el mismo número de cifras. Entonces, está claro que las tres primeras $2^k,2^{k+1},2^{k+2}$ tienen un cierto número de cifras y la anterior $2^{k-1}$ también tiene el mismo número de cifras (en caso contrario, se podría extender la cadena). De la misma forma, las tres últimas $2^{k+r-2},2^{k+r-1},2^{k+r}$ tienen el mismo número de cifras y la siguiente $2^{k+r+1}$ tiene el mismo número de cifras. La cadena de potencias queda, por tanto, dividida en conjuntos de tres potencias consecutivas con el mismo número de cifras por el apartado (a), es decir, $r$ es necesariamente un múltiplo de $3$.

   Ahora bien, haciendo el mismo argumento de los apartados anteriores a partir de $2^{k+3}$, que supondremos entre $10^{n-1}$ y $2\cdot 10^{n-1}$, como las primeras potencias de $2$ son \[1,\quad 2,\quad 4,\quad 8,\quad 16,\quad 32,\quad 64,\quad 128,\quad 256,\quad 512,\quad 1024,\quad 2048,\quad 4094,\quad 8192\ldots,\]

   tenemos necesariamente que $2^{k+15}$ está entre $4094\cdot 10^{n-1}$ y $8192\cdot 10^{n-1}$, luego tiene $n+3$ cifras. En otras palabras, las trece potencias $2^{k+3},2^{k+4},\ldots,2^{k+15}$ tienen entre $n$ y $n+3$ cifras y debe haber al menos cuatro con el mismo número de cifras por el principio del palomar. Por lo tanto, se sigue que $r\leq 14$, es decir, la solución a este apartado es un número menor o igual que $15$.

   Ver que realmente la solución es $15$ excede cualquier cálculo razonable y posiblemente al proponer el problema no se ha pensado en hacer esta parte sino en dar únicamente la cota superior. Hay que encontrar quince potencias de $2$ consecutivas que cumplan la propiedad y las potencias más pequeñas que hacen esto son \[2^{91},2^{92},2^{93},\ldots,2^{105}.\]

Solución. La ecuación que nos da se escribe como \[49x+7y+z=81z+9y+x\ \Leftrightarrow\ 40z+y-24x=0.\] Por tanto, $y=8(3x-5z)$ es múltiplo de $8$, lo que nos lleva a que $y=0$ (ya que en base $7$ no puede haber un dígito $8$. Tenemos así que $3x=5z$, luego $x$ tiene que ser múltiplo de $5$ pero no puede ser $x=0$ (ya que el número tiene tres cifras) ni $x\geq 7$ y nos queda que $x=5$, de donde $z=3$. Tenemos así que el número es $503_{(7)}=305_{(9)}=248_{(10)}$.

Solución. Es sencillo ver directamente que \begin{align*} S_0&=1,& S_1&=2007\equiv 7\pmod{10},\\ S_5&\equiv 1+2006\cdot 5\equiv 1\pmod{10},& S_9&\equiv S_{-1}\equiv 1\pmod{10}, \end{align*} luego nos centraremos en $\sigma=S_2+S_3+S_4+S_6+S_7+S_8$. Ahora bien, tenemos que \[d^n+(10-d)^n\equiv d^n+(-d)^n\equiv\begin{cases} 0&\text{ si }n\text{ es impar,}\\ 2d^n&\text{ si }n\text{ es par}\end{cases}\] Por lo tanto, podemos eliminar por parejas los sumandos con exponente impar en $\sigma$ y agrupar por parejas los de exponente par. Esto nos deja con \[\sigma\equiv 2\sum_{k=0}^{1013}\left(2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\right)\equiv 6+2\sum_{k=1}^{1013}\left(4^k+9^k+6^k\right)\pmod{10}.\] Observamos entonces que $4^k$ va alternando últimos dígitos $4$ y $6$, que se anulan por parejas módulo $10$, y lo mismo pasa con $9^k$ que alterna entre $9$ y $1$, mientras que $6^k$ siempre tiene último dígito $6$. Todo esto nos da \[\sigma\equiv 6+2(4+9)+2026\cdot 6\equiv 8\pmod{10}.\] Así, el resultado que nos piden es congruente con \[S_0+S_1+S_5+S_9+\sigma\equiv 1+7+1+1+8\equiv 8\pmod{10},\] luego el último dígito de la suma del enunciado es $8$.

Nota. En realidad, no es difícil calcular directamente $S_d\pmod{10}$ para $1\leq d\leq 10$ si observamos la repetición de las potencias módulo $10$, aunque es un trabajo más laborioso que si pensamos en ir anulando y simplificando muchos términos (como hemos hecho en esta solución o de otra manera).