Olimpiadas de Matemáticas
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Solución.

1. El primer término que tiene $n\geq 1$ cifras, debe tener su cifra más significativa igual a $1$, por lo que podemos asegurar que está entre $10^{n-1}$ y $2\cdot 10^{n-1}$. El siguiente término estará entre $2\cdot 10^{n-1}$ y $4\cdot 10^{n-1}$, el siguiente a este estará entre $4\cdot 10^{n-1}$ y $8\cdot 10^{n-1}$ y el siguiente entre $8\cdot 10^{n-1}$ y $16\cdot 10^{n-1}$. Estos cuatro podrían tener $n$ cifras, pero el siguiente está entre $16\cdot 10^{n-1}$ y $32\cdot 10^{n-1}$ y tiene necesariamente $n+1$ cifras. Esto nos da una respuesta negativa a este apartado.

Solución. La ecuación que nos da se escribe como \[49x+7y+z=81z+9y+x\ \Leftrightarrow\ 40z+y-24x=0.\] Por tanto, $y=8(3x-5z)$ es múltiplo de $8$, lo que nos lleva a que $y=0$ (ya que en base $7$ no puede haber un dígito $8$. Tenemos así que $3x=5z$, luego $x$ tiene que ser múltiplo de $5$ pero no puede ser $x=0$ (ya que el número tiene tres cifras) ni $x\geq 7$ y nos queda que $x=5$, de donde $z=3$. Tenemos así que el número es $503_{(7)}=305_{(9)}=248_{(10)}$.

Solución. Es sencillo ver directamente que \begin{align*} S_0&=1,& S_1&=2007\equiv 7\pmod{10},\\ S_5&\equiv 1+2006\cdot 5\equiv 1\pmod{10},& S_9&\equiv S_{-1}\equiv 1\pmod{10}, \end{align*} luego nos centraremos en $\sigma=S_2+S_3+S_4+S_6+S_7+S_8$. Ahora bien, tenemos que \[d^n+(10-d)^n\equiv d^n+(-d)^n\equiv\begin{cases} 0&\text{ si }n\text{ es impar,}\\ 2d^n&\text{ si }n\text{ es par}\end{cases}\] Por lo tanto, podemos eliminar por parejas los sumandos con exponente impar en $\sigma$ y agrupar por parejas los de exponente par. Esto nos deja con \[\sigma\equiv 2\sum_{k=0}^{1013}\left(2^{2k}+3^{2k}+4^{2k}\right)\equiv 6+2\sum_{k=1}^{1013}\left(4^k+9^k+6^k\right)\pmod{10}.\] Observamos entonces que $4^k$ va alternando últimos dígitos $4$ y $6$, que se anulan por parejas módulo $10$, y lo mismo pasa con $9^k$ que alterna entre $9$ y $1$, mientras que $6^k$ siempre tiene último dígito $6$. Todo esto nos da \[\sigma\equiv 6+2(4+9)+2026\cdot 6\equiv 8\pmod{10}.\] Así, el resultado que nos piden es congruente con \[S_0+S_1+S_5+S_9+\sigma\equiv 1+7+1+1+8\equiv 8\pmod{10},\] luego el último dígito de la suma del enunciado es $8$.

Nota. En realidad, no es difícil calcular directamente $S_d\pmod{10}$ para $1\leq d\leq 10$ si observamos la repetición de las potencias módulo $10$, aunque es un trabajo más laborioso que si pensamos en ir anulando y simplificando muchos términos (como hemos hecho en esta solución o de otra manera).