Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a$, $b$ y $n$ enteros mayores que $1$ y supongamos que $a$ y $b$ son las bases de dos sistemas de numeración. Tenemos enteros positivos $A_{n-1}$ y $A_n$ expresados en base $a$ como \[A_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\ldots x_0,\qquad A_n=x_nx_{n-1}\ldots x_0,\] y los enteros positivos $B_{n-1}$ y $B_n$ que tienen la misma representación en base $b$: \[B_{n-1}=x_{n-1}x_{n-2}\ldots x_0,\qquad B_n=x_nx_{n-1}\ldots x_0,\] siendo los dígitos $x_{n-1}$ y $x_n$ no nulos. Demostrar que \[\frac{A_{n-1}}{A_n}\lt\frac{B_{n-1}}{B_n}\ \text{si y solo si} a\gt b.\]

Hallar cuatro números distintos de tres dígitos en base $10$, que empiecen por el mismo dígito y tales que su suma es divisible por tres de los números.

Demostrar que hay infinitos números naturales $a$ tales que $n^4+a$ no es primo para ningún número natural $n$.

Demostrar que existen infinitos números primos $p$ para los que hay enteros positivos $x$ e $y$ que cumplen $x^2+x+1=py$.

Sea $n$ un entero positivo. Demostrar que cualquier entero positivo $m\leq n!$ se puede escribir como suma de a lo sumo $n$ factores distintos de $n!$