Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dados dos números enteros no negativos $m$ y $n$, con $m\gt n$, se dirá que $m$ termina en $n$ si es posible borrar algunos dígitos de izquierda a derecha de $m$ para obtener $n$ (por ejemplo, $329$ termina en $9$ y en $29$ únicamente). Determine cuántos números de tres dígitos terminan en el producto de sus dígitos.

La OMCC es una competición anual de matemáticas. En el año 2007 se lleva a cabo la novena olimpiada. ¿Para qué enteros positivos $n$ se cumple que $n$ divide al año en que se realiza la $n$-ésima olimpiada?

Se dice que un entero positivo $N$ es interoceánico si, al descomponer en factores primos $N=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$, se cumple que \[x_1+x_2+\ldots+x_k=p_1+p_2+\ldots+p_k.\] Encontrar todos los números interoceánicos menores que $2020$.

Un entero positivo de cuatro dígitos se dice virtual si es de la forma $\overline{abab}$, donde $a$ y $b$ son dígitos y $a\neq0$. Por ejemplo, $2020$, $2121$ y $2222$ son virtuales, pero $2002$ y $0202$ no lo son. Encontrar todos los números virtuales de la forma $n^2+1$ para algún entero positivo $n$.

Un número de cuatro cifras $n=\overline{abcd}$, donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son dígitos y $a\neq 0$, se denomina guanaco si el producto $\overline{ab}\cdot\overline{cd}$ es un divisor de $n$. Encontrar todos los números guanacos que existen.