Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar enteros $m$ y $n$ tales que $m$ es el producto de $n$ enteros positivos consecutivos y también el producto de $n+2$ enteros positivos consecutivos. Demostrar que esto no puede ocurrir si $n=2$.

Sea $f(n)$ la suma de $n$ y sus dígitos (por ejemplo, se tiene que $f(34)=34+3+4=41$).

1. ¿Existe algún entero $n$ tal que $f(n)=1980$?
2. Demostrar que para todo entero positivo $m$ se puede encontrar $n$ tal que $f(n)=m$ o bien $f(n)=m+1$.

Un número $N$ tiene seis dígitos, todos ellos distintos y distintos de cero. Si $N$ es divisible por $37$, demostrar que se pueden obtener al menos otros $23$ números que también son divisibles por $37$ permutando dígitos de $N$.

Determinar si existen enteros positivos $a,b,c$ tales que \[a^4=b^3+c^2.\]

Se escriben consecutivamente todos los números enteros del $19$ al $80$ para formar el número $N=19202122\ldots 7980$. Determinar si $N$ es divisible por $1980$.