Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Como $26=2\cdot 13$, llegamos fácilmente a que los únicos divisores positivos de 26 son $\{1,2,13,26\}$. Distingamos los cuatro casos:

• Si $a^2+b^2+c^2=1$, entonces uno de los tres dígitos es igual a 1 y el resto a 0, lo que nos lleva a la única solución $(a,b,c)=(1,0,0)$ ya que debe ser $a\neq 0$.
• Si $a^2+b^2+c^2=2$, entonces dos de los tres dígitos son iguales a 1 y el tercero a 0, lo que nos da dos soluciones: $(a,b,c)=(1,1,0)$ y $(a,b,c)=(1,0,1)$, de nuevo porque $a\neq 0$.
• Si $a^2+b^2+c^2=13$, entonces los dígitos están entre 0 y 3, pero no pueden ser todos menores o iguales que 2 puesto que entonces $a^2+b^2+c^2\leq 12$. Por tanto, uno de ellos es 3 y la suma de los cuadrados de los otros dos es 4, lo que lleva claramente a que sean 2 y 0. Tenemos así cuatro posibles soluciones: $(3,2,0)$, $(2,3,0)$, $(3,0,2)$ y $(2,0,3)$ ya que $a\neq 0$.
• Finalmente, si $a^2+b^2+c^2=26$, todos los dígitos están entre 0 y 5. Si uno de ellos es 5, los otros deben ser 1 y 0. Si uno de ellos es 4, los otros deben ser 3 y 1. Si el mayor es 3, entonces los cuadrados de los otros dos deben sumar 17, pero esto no es posible. Tampoco hay soluciones si el mayor es menor o igual que 2, como en el caso anterior.

En resumen, hemos encontrado los diecisiete números que cumplen la condición del enunciado: 100, 101, 105, 110, 134, 143, 150, 203, 230, 302, 314, 320, 341, 413, 431, 501 y 510.

Solución. Supongamos que se colocan los números del $1$ al $n$ como se dice en el enunciado y elijamos una cadena de números pares consecutivos lo más larga posible y que están precedidos y seguidos de un número impar, es decir \[\text{impar}\to\text{par}\to\text{par}\to\ \ldots\ \to\text{par}\to\text{impar}.\] Entonces, está claro que solo puede haber un número par ya que, si hubiera dos o más, el penúltimo tendría que dividir a una suma impar. También está claro que antes del primer impar y después del último debe haber sendos impares ya que un número par debe dividir a una suma necesariamente par. En otras palabras, siempre que encontramos un número par sigue el siguiente esquema: \[\text{impar}\to\text{impar}\to\text{par}\to\text{impar}\to\text{impar}.\] Si $n\geq 3$, entonces hay al menos dos números del $1$ al $n$ pares, luego el esquema anterior nos asegura que el número de impares debe ser al menos dos unidades mayor que el número de pares y esto es imposible. Nos queda el caso $n=3$, en el que sí es posible ya que podemos colocar $1\to 3\to 2$.

Por lo tanto, $n=3$ es la única solución.