Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Como $26=2\cdot 13$, llegamos fácilmente a que los únicos divisores positivos de 26 son $\{1,2,13,26\}$. Distingamos los cuatro casos:

• Si $a^2+b^2+c^2=1$, entonces uno de los tres dígitos es igual a 1 y el resto a 0, lo que nos lleva a la única solución $(a,b,c)=(1,0,0)$ ya que debe ser $a\neq 0$.
• Si $a^2+b^2+c^2=2$, entonces dos de los tres dígitos son iguales a 1 y el tercero a 0, lo que nos da dos soluciones: $(a,b,c)=(1,1,0)$ y $(a,b,c)=(1,0,1)$, de nuevo porque $a\neq 0$.
• Si $a^2+b^2+c^2=13$, entonces los dígitos están entre 0 y 3, pero no pueden ser todos menores o iguales que 2 puesto que entonces $a^2+b^2+c^2\leq 12$. Por tanto, uno de ellos es 3 y la suma de los cuadrados de los otros dos es 4, lo que lleva claramente a que sean 2 y 0. Tenemos así cuatro posibles soluciones: $(3,2,0)$, $(2,3,0)$, $(3,0,2)$ y $(2,0,3)$ ya que $a\neq 0$.
• Finalmente, si $a^2+b^2+c^2=26$, todos los dígitos están entre 0 y 5. Si uno de ellos es 5, los otros deben ser 1 y 0. Si uno de ellos es 4, los otros deben ser 3 y 1. Si el mayor es 3, entonces los cuadrados de los otros dos deben sumar 17, pero esto no es posible. Tampoco hay soluciones si el mayor es menor o igual que 2, como en el caso anterior.

En resumen, hemos encontrado los diecisiete números que cumplen la condición del enunciado: 100, 101, 105, 110, 134, 143, 150, 203, 230, 302, 314, 320, 341, 413, 431, 501 y 510.

Solución. Supongamos que se colocan los números del $1$ al $n$ como se dice en el enunciado y elijamos una cadena de números pares consecutivos lo más larga posible y que están precedidos y seguidos de un número impar, es decir \[\text{impar}\to\text{par}\to\text{par}\to\ \ldots\ \to\text{par}\to\text{impar}.\] Entonces, está claro que solo puede haber un número par ya que, si hubiera dos o más, el penúltimo tendría que dividir a una suma impar. También está claro que antes del primer impar y después del último debe haber sendos impares ya que un número par debe dividir a una suma necesariamente par. En otras palabras, siempre que encontramos un número par sigue el siguiente esquema: \[\text{impar}\to\text{impar}\to\text{par}\to\text{impar}\to\text{impar}.\] Si $n\geq 3$, entonces hay al menos dos números del $1$ al $n$ pares, luego el esquema anterior nos asegura que el número de impares debe ser al menos dos unidades mayor que el número de pares y esto es imposible. Nos queda el caso $n=3$, en el que sí es posible ya que podemos colocar $1\to 3\to 2$.

Por lo tanto, $n=3$ es la única solución.

Solución. La idea que vamos a seguir es que la suma de los $500$ productos sea $m=999$, luego tendremos que producir un número $n$ que sea múltiplo de $9\cdot 111$. Podemos conseguir este número únicamente con unos y doses tomando \[n=1221\,111\,111\ldots 111\,222\,222\ldots 222,\] donde después de $1221$ escribimos $171$ grupos de tres unos consecutivos y $161$ grupos de tres doses consecutivos, lo que hace un total de $515$ unos y $485$ doses en la expresión anterior de $n$, es decir, $n$ tiene exactamente $1000$ dígitos. Observamos que cada grupo de tres dígitos iguales es múltiplo de $111$ y que $1221=11\cdot 111$ también lo es, luego $n$ es múltiplo de $111$ y, más específicamente, \[\frac{n}{111}=11\,001\,001\ldots 001\,002\,002\ldots 002.\] Este último número tiene $173$ unos y $162$ doses, luego la suma de sus dígitos es igual a $173\cdot 1+162\cdot 2=495$, que es múltiplo de $9$. Por lo tanto, $\frac{n}{111}$ es múltiplo de $9$ y hemos probado de esta manera que $n$ es múltiplo de $999$.

Queda por ver que podemos emparejar los dígitos para obtener una suma de productos $m=999$. Para ello, hacemos $457$ parejas $(1,2)$, $29$ parejas $(1,1)$ y $14$ parejas $(2,2)$, lo que nos da \[m=457\cdot 1\cdot 2+29\cdot 1\cdot 1+14\cdot 2\cdot 2=999\] y hemos terminado.

Nota. Aunque los números aparecen sacados de la manga, en realidad sólo hay que hacer ciertos ajustes. Por ejemplo, si suponemos que hay $a$ grupos de tres unos y $b$ grupos de tres doses, tiene que cumplirse que $a+b=332$ y, para que $n$ sea múltiplo de $999$, tiene que ser $a$ múltiplo de $9$. Por otro lado, en los emparejamientos comenzamos poniendo $485$ parejas $(1,2)$ y $15$ parejas $(1,1)$, lo que nos da $m=985$; ahora basta darse cuenta de que cambiar dos parejas $(1,2)$ por una $(1,1)$ y otra $(2,2)$ aumenta $m$ en una unidad, por lo que habrá que hacer $14$ de tales cambios.