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Problema 1363
OMCC, 2003-P6
Diremos que un entero positivo es tico si la suma de sus dígitos (en base 10) es múltiplo de 2003.
- Demostrar que existe un entero positivo $N$ tal que sus primeros 2003 múltiplos $N,2N,\ldots, 2003N$ son todos ticos.
- ¿Existe algún entero positivo $N$ tal que todos sus multiplos sean ticos?
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Problema 1356
OMCC, 2007-P5
Dados dos números enteros no negativos $m$ y $n$, con $m\gt n$, se dirá que $m$ termina en $n$ si es posible borrar algunos dígitos de izquierda a derecha de $m$ para obtener $n$ (por ejemplo, $329$ termina en $9$ y en $29$ únicamente). Determine cuántos números de tres dígitos terminan en el producto de sus dígitos.
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Problema 1352
OMCC, 2007-P1
La OMCC es una competición anual de matemáticas. En el año 2007 se lleva a
cabo la novena olimpiada. ¿Para qué enteros positivos $n$ se cumple que $n$
divide al año en que se realiza la $n$-ésima olimpiada?
pistasolución 1info
Pista. Necesitas encontrar los valores de $n$ tales que $n$ divide a $1998+n$.
Solución. La $n$-ésima olimpiada se realiza en el año $1998+n$, luego el problema es encontrar los enteros positivos $n$ para los que $n$ divide a $1998+n$. Esto equivale a que $n$ divida a $1998=2\cdot 3^3\cdot 37$. Las soluciones son, por tanto, los divisores de $1998$, es decir, los siguientes dieciséis valores de $n$:
\[1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 37, 54, 74, 111, 222, 333, 666, 999, 1998.\]
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Problema 1351
OMCC, 2020-P6
Se dice que un entero positivo $N$ es interoceánico si, al descomponer en factores primos $N=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$, se cumple que
\[x_1+x_2+\ldots+x_k=p_1+p_2+\ldots+p_k.\]
Encontrar todos los números interoceánicos menores que $2020$.
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Problema 1346
OMCC, 2020-P1
Un entero positivo de cuatro dígitos se dice virtual si es de la forma $\overline{abab}$, donde $a$ y $b$ son dígitos y $a\neq0$. Por ejemplo, $2020$, $2121$ y $2222$ son virtuales, pero $2002$ y $0202$ no lo son. Encontrar todos los números virtuales de la forma $n^2+1$ para algún entero positivo $n$.
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