Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un número de cuatro cifras $n=\overline{abcd}$, donde $a$, $b$, $c$ y $d$ son dígitos y $a\neq 0$, se denomina guanaco si el producto $\overline{ab}\cdot\overline{cd}$ es un divisor de $n$. Encontrar todos los números guanacos que existen.

Un entero positivo $k$ tiene la propiedad de que si $k$ divide a otro entero positivo $n$, entonces también divide al número que resulta de invertir el orden de los dígitos de $n$. Demostrar que $k$ tiene que ser un divisor de $99$.

Encontrar todos los enteros $x$ e $y$ que cumplen \[x^2+x=y^4+y^3+y^2+y.\]

Demuestra que existe un número divisible por $5^{1000}$ que no tiene ningún dígito igual a $0$.

Los dígitos de un entero positivo se reordenan y el número resultante se suma al original.

1. Demostrar que el resultado no puede ser $999\ldots 9$ con exactamente $1999$ nueves.
2. Si el resultado es $10^{10}$, demostrar que el número original es múltiplo de $10$.