Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La última cifra de $7^n$ es $1,7,9,3,1,7,9,3,\ldots$ para $n=0,1,2,3,4,5,6,7,\ldots$ y, como esta sólo depende de la última cifra de $7^{n-1}$, en cuanto una cifra se repite, la sucesión anterior se vuelve periódica. Deducimos así que $7^n$ tiene última cifra $3$ precisamente cuando $n=4k+3$ (ver la nota). Entonces, tenemos que \[7^{4k+3}=(7^4)^k\cdot 7^3=2401^k\cdot 343\] tendrá sus dos últimas cifras iguales a $43$ ya que $2041^k$ siempre terminará en $01$ para todo $k$.

Nota. Otra forma de ver la periodicidad de la última cifra es darse cuenta de que $7^4=2041\equiv 1\ (\text{mod }10)$, luego si dividimos $n$ entre $4$ y obtenemos que $n=4k+r$ con $0\leq r\leq 3$, se cumplirá que $7^n=(7^4)^k\cdot 7^r\equiv 1\cdot 7^r\equiv 7^r\ (\text{mod }10)$, luego las últimas cifras se repiten de $4$ en $4$. La solución también se puede terminar con el mismo cálculo observando que, de hecho, $7^4\equiv 1\ (\text{mod }100)$.

Solución. Usaremos la relación $DM=ab$ para escribir \begin{align*} D^2+M^2-a^2-b^2&=D^2-\frac{a^2b^2}{D^2}-a^2-b^2\\ &=\frac{D^4+a^2b^2-a^2D^2-b^2D^2}{D^2}\\ &=\frac{(a^2-D^2)(b^2-D^2)}{D^2}\geq 0. \end{align*} Aquí hemos usado que cualquier número es mayor o igual que un divisor suyo (en este caso, el máximo común divisor $D$ con el otro número). De la desigualdad anterior se deduce claramente la del enunciado.

Nota. La igualdad se alcanza sólo cuando $a=D$ o $b=D$, es decir, cuando $b$ es un múltiplo de $a$ o $a$ es un múltiplo de $b$.