Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2717 problemas y 972 soluciones.
Problema 1205
IMO, 1960-P1
Determinar todos los números naturales $N$ de tres cifras que son divisibles por $11$ y tales que $N/11$ es igual a la suma de los cuadrados de los dígitos de $N$.
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Problema 1197
ASU, 1965-P13
Dados dos números naturales $r$ y $s$ primos relativos, diremos que un entero es afable si puede representarse como $mr+ns$, siendo $m$ y $n$ enteros no negativos. Demostrar que podemos encontrar un entero $c$ tal que solo uno de los números $k$ y $c-k$ es bueno para cualquier entero $k$. ¿Cuántos enteros positivos no son afables?
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Problema 1184
ASU, 1964-P14
- Hallar el menor cuadrado perfecto de al menos tres cifras cuyo dígito de las unidades no es cero y que es de nuevo un cuadrado al borrar sus dígitos de las decenas y las unidades.
- Hallar todos los cuadrados perfectos que no contienen los dígitos 0 ni 5 tales que, si su segundo dígito (por la izquierda) se elimina, el número resultante divide al original.
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Problema 1182
ASU, 1964-P11
Sean $a, b, n$ enteros positivos tales que, para cualquier entero positivo $k$ distinto de $b$, $b-k$ divide a $a-k^n$. Demostrar que $a=b^n$.
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Problema 1176
ASU, 1964-P3
Para cada uno de los números naturales entre $1$ y $10^9$, calculamos reiteradamente la suma de sus dígitos hasta reducirlos a un número de un sólo dígito. ¿Encontramos más unos o doses entre los $10^9$ resultados?
pistasolución 1info
Pista. Trabaja módulo $9$.
Solución. La suma de los dígitos de un número tiene el mismo resto que el número al dividirla por $9$. Por tanto, el dígito que resulta al final de hacer sumas reiteradas de dígitos es el propio resto del número o bien $9$ (si el resto es $0$). Entonces, se trata de ver si hay más números que dan resto $1$ o más números que dan resto $2$ del $1$ al $10^9$. Como empezamos en $1$ y terminamos en $10^9$, ambos dan resto $1$ y el resto se repite periódicamente, deducimos que hay exactamente un número más que da resto $1$ que números que dan resto $2$. Por lo tanto, habrá más unos entre los $10^9$ resultados.
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