Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todas las soluciones enteras no negativas $(n_1,n_2,\ldots,n_{14})$, salvo permutaciones, de la ecuación diofántica \[n_1^4+n_2^4+\ldots+n_{14}^4=1599.\]

Diremos que un entero $n$ es bueno si podemos escribir $n=a_1+a_2+\ldots+a_k$, donde $a_1,a_2,\ldots,a_n$ son enteros (no necesariamente distintos) tales que \[\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\ldots+\frac{1}{a_n}=1.\] Sabiendo que todos los enteros del $33$ al $73$ son buenos, demostrar que todo entero mayor o igual que $33$ es bueno.

Demostrar que las raíces cúbicas de tres primos distintos no pueden ser tres términos (no necesariamente consecutivos) de una progresión aritmética.

Determinar todas las parejas $(a, b)$ de enteros positivos para las que existen enteros positivos $g$ y $N$ tales que \[\mathrm{mcd}(a^n+b,b^n+a)=g\] se cumple para todo $n\geq N$.

Determinar todos los números reales $\alpha$ tales que, para cada entero positivo $n$, el entero \[\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\ldots+\lfloor n\alpha\rfloor\] es un múltiplo de $n$.

Nota: $\lfloor z\rfloor$ denota la parte entera de $x$, es decir, el mayor entero que es menor o igual a $z$. Por ejemplo, $\lfloor −\pi\rfloor = −4$ y $\lfloor 2\rfloor = \rfloor 2.9\lfloor = 2$.