Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $S$ un conjunto de enteros comprendidos entre $n^2$ y $(n+1)^2$. Demostrar que no hay dos parejas distintas de elementos de $S$ que tengan el mismo producto.

Hallar los enteros positivos $a,b,c$ tales que $a^2+b=c$, sabiendo que tanto $a$ como $b$ son números formados por $n$ dígitos iguales y $c$ está formado por $2n$ dígitos iguales.

Sea $d(n)$ el número de divisores positivos de un entero $n$ (por ejemplo, $d(12)=6$). Hallar todos los enteros $n$ para los que $d(n)^2=n$.

Dados enteros positivos $m$ y $n$, demostrar que podemos rellenar las casillas de un tablero $m\times n$ con cuadrados perfectos de forma que las sumas de los elementos de cada fila y cada columna sean también cuadrados perfectos.

Demostrar que no existe ningún cuadrilátero convexo cuyos vértices tienen coordenadas enteras tal que una diagonal tiene longitud el doble que la otra y se cortan en un ángulo de $45^\circ$.