Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pongamos que el polígono tiene $n$ lados y escribamos sus ángulos internos como $a,a+d,\ldots,a+(n-1)d$, siendo $d$ la diferencia de la progresión aritmética. Como la suma de los ángulos internos de un $n$-gono es $180(n-2)$ (ya que se puede triangularse en $n-2$ triángulos), deducimos que \[180(n-2)=a+(a+d)+\ldots+(a+(n-1)d)=na+\frac{n(n-1)}{2}d.\] Por tanto, tenemos que resolver la ecuación diofántica \[360(n-2)=2na+n(n-1)d\ \Leftrightarrow\ 2a+(n-1)d=360-\frac{720}{n}.\] Esto acota los valores de $n$ a los divisores de $720$ (mayores o iguales que $3$). Además, para que el polígono sea convexo, sus ángulos tienen que ser menores que $180$, lo que nos dice que el mayor ha de serlo, es decir, $a\lt 180-(n-1)d$. Sustituyendo en la ecuación diofántica, la convexidad se traduce en que $720=(360-2a-(n-1)d)n\gt n(n-1)d\geq n(n-1)$, donde hemos usado que $d\geq 1$ porque nos dicen que no todos los ángulos son iguales. Esto último se traduce en que $3\leq n\leq 27$ y $d\lt\frac{720}{n(n-1)}$.

La idea ahora es que, para cada divisor $3\leq n\leq 27$ de $720$, estudiaremos si existe un par de enteros positivos $(a,d)$ verificando simultáneamente $2a+(n-1)d=360-\frac{720}{n}$ y $d\lt\frac{720}{n(n-1)}$. Lo haremos caso por caso ya que no son muchos

• Si $n=3$, tenemos $2a+2d=120$ y $d\lt 120$. Una solución es $a=d=30$.
• Si $n=4$, tenemos $2a+3d=180$ y $d\lt 60$. Una solución es $a=75$, $d=10$.
• Si $n=5$, tenemos $2a+4d=216$ y $d\lt 36$. Una solución es $a=100$, $d=4$.
• Si $n=6$, tenemos $2a+5d=240$ y $d\lt 24$. Una solución es $a=100$, $d=8$.
• Si $n=8$, tenemos $2a+7d=270$ y $d\lt 13$. Una solución es $a=100$, $d=10$.
• Si $n=9$, tenemos $2a+8d=280$ y $d\lt 10$. Una solución es $a=120$, $d=5$.
• Si $n=10$, tenemos $2a+9d=288$ y $d\lt 8$. Una solución es $a=135$, $d=2$.
• Si $n=12$, tenemos $2a+11d=300$ y $d\lt 6$. Una solución es $a=139$, $d=2$.
• Si $n=15$, tenemos $2a+14d=312$ y $d\lt 4$. Una solución es $a=149$, $d=1$.
• Si $n=16$, tenemos $2a+15d=315$ y $d\lt 3$. Una solución es $a=150$, $d=1$.
• Si $n=18$, tenemos $2a+17d=320$ y $d\lt 3$. Una solución es $a=143$, $d=2$.
• Si $n=20$, tenemos $2a+19d=324$ y $d\lt 2$. En este caso sólo nos queda $d=1$ y no hay solución puesto que el miembro de la derecha sería par y el de la izquierda impar.
• Si $n=24$, tenemos $2a+23d=330$ y $d\lt 2$. Tampoco hay solución por el mismo motivo que en el caso anterior.

Deducimos así que los posibles valores de $n$ son $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $10$, $12$, $15$ y $18$.

Solución. Observemos que podemos restringirnos a $500000=5\cdot 100\cdot 1000$ elecciones de la terna $(a,b,m)$ suponiendo que $a$ está entre $1$ y $100$, $b$ está entre $1$ y $1000$ y $m$ tiene 5 valores posibles. Por tanto, habrá como máximo $500000$ números que pueden expresarse de esta manera. No obstante, algunos de estos números se pasan de $1000000$ (por ejemplo, para $(a,b,m)=(100,1000,8)$), luego realmente habrá menos de la mitad de números menores o iguales que 1000000 que se expresan de esta manera.

Nota. Otra forma de razonar el final es darse cuenta de que hay números que se expresan de dos formas distintas. Por ejemplo, las ternas $(a,b,m)=(4,2,2)$ y $(a,b,m)=(2,4,4)$ producen el mismo número $a^3+mb^2=72$.

Otra forma de razonar el final es darse cuenta de que para $m=0$ no se producen $100000$ valores distintos sino solo $100$ ya que el valor de $b$ no es relevante.

Solución. La forma más estándar de probar si ese número es primo o compuesto es buscar algún primo tal que esa expresión sea siempre múltiplo del primo o bien buscar una factorización como polinomios. Veamos que se puede hacer esto último. Como se trata de un polinomio de segundo grado, vamos a intentar expresar: \[n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2=(am+bn+c)(dm+en+f).\] Desarrollando el producto de los dos factores e igualando coeficientes, obtenemos directamente del término independiente que $cf=0$, luego supondremos $f=0$ sin pérdida de generalidad. También tenemos que $be=1$ del término independiente, luego supondremos también que $b=e=1$ cambiando el signo de ambos factores si fuera necesario. El término en $n$ nos da ahora $c=1$ y luego el término en $m$ nos da $d=2019$. Finalmente, el término en $m^2$ nos da $a=-1$ y hemos llegado a la siguiente factorización: \[n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2=(1-m+n)(2019 m+n).\] Como $m$ y $n$ son naturales (positivos), se tiene que $1-m+n\lt 2019m+n$. Dado que no está garantizado que la expresión del enunciado sea positiva (véase la nota) y dado que $2019m+n\gt 1$, tenemos dos posibilidades:

• Si $1-m+n=1$, entonces $m=n$, lo que nos dice que la expresión del enunciado es igual a $2020m$, que claramente no es primo.
• Si $1-m+n=-1$, entonces despejamos $n=m-2$. Sustituyendo en la expresión del enunciado, esta queda igual a $2(1-1010m)$, que tampoco es primo.

Deducimos así que la expresión no da un número primo sean cuales sean los valores naturales de $m$ y $n$.

Nota. Si consideramos que $0$ es un número natural, entonces tenemos que para $m=0$ y $n=1$, se tiene como resultado $2$, que sí es primo. Se supone que en la prueba se comunicó que $0$ no es un número natural en el contexto de este problema.

Por otro lado, la expresión del enunciado no es necesariamente positiva (por ejemplo para $n=m-2$, como hemos visto, se obtienen valores negativos). Por este motivo, hemos descartado también la posibilidad de que se trate de un primo negativo (en cuyo caso solo admite factorizaciones de la forma $(-1)\cdot p$ y $1\cdot (-p)$.