Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La suma de los dígitos de un número tiene el mismo resto que el número al dividirla por $9$. Por tanto, el dígito que resulta al final de hacer sumas reiteradas de dígitos es el propio resto del número o bien $9$ (si el resto es $0$). Entonces, se trata de ver si hay más números que dan resto $1$ o más números que dan resto $2$ del $1$ al $10^9$. Como empezamos en $1$ y terminamos en $10^9$, ambos dan resto $1$ y el resto se repite periódicamente, deducimos que hay exactamente un número más que da resto $1$ que números que dan resto $2$. Por lo tanto, habrá más unos entre los $10^9$ resultados.

Solución. Supongamos que $d\geq 2$ es un divisor común a $m^2+n^2$ y $m+n$. Entonces también es un divisor de $(m+n)^2-(m^2+n^2)=2mn$ pero no puede ser divisor de $m$ ni de $n$ (al ser divisor de $m+n$, si lo fuera también de $m$, lo sería de $n=(m+n)-m$, pero $m$ y $n$ son primos relativos). Por lo tanto, $d$ debe dividir a $2$ y no queda otra que $d=2$.

Como el máximo común divisor de $m+n$ y $m^2+n^2$ es, en particular, un divisor común, tiene que ser $1$ o $2$. Será igual a $2$ cuando $m$ y $n$ tengan la misma paridad y $1$ cuando tengan distinta paridad.