Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que el triángulo es $ABC$, con ángulo recto en $B$ y $AB=p^2-1$ y $BC=2p$, luego el teorema de Pitágoras nos da la hipotenusa $AC=p^2+1$. La semicircunferencia es tangente a $AC$ en un punto $T$ y a $BC$ en $B$. Si llamamos $O$ al centro de la semicircunferencia y $r$ a su radio, entonces $OB=OT=r$ y $TC=BC=2p$. Usando el teorema de Pitágoras, llegamos al sistema \[\left\{\begin{array}{l}AO+r=AB=p^2+1,\\AO^2=AT^2+r^2=(AC-CT)^2+r^2=(p-1)^4+r^2.\end{array}\right.\] Factorizando $(p-1)^4=AO^2-r^2=(AO+r)(AO-r)=(p^2+1)(AO-r)$, el sistema queda \[\left\{\begin{array}{l}AO+r=p^2+1,\\AO-r=\frac{(p-1)^4}{p^2-1}=\frac{(p-1)^3}{p+1}.\end{array}\right.\] Restando ambas ecuaciones y simplificando llegamos fácilmente a que \[r=\frac{2p(p-1)}{p+1}.\] Para que este número sea entero, como $p$ y $p+1$ son primos relativos, se debe cumplir que $p+1$ divide a $2(p-1)=2(p+1)-4$, luego también debe dividir a $4$. El único primo en estas condiciones es $p=3$, que claramente cumple la propiedad que buscamos ya que nos da el valor entero $r=3$.

Solución. Podemos escribir \[\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d,\qquad \overline{dcba}=1000d+100c+10b+a,\] luego es fácil calcular \[S=999a+90b-90c-999d=999(a-d)+90(b-c)=3^2\cdot 37(a-d)+90(b-c).\] Si $S$ es múltiplo de $37$, también lo será $90(b-c)=S-3^2\cdot 37(a-d)$; como $90$ es primo relativo con $37$, también lo será $b-c$. Ahora bien, $b-c$ es un entero entre $-9$ y $9$ y el único múltiplo de $37$ en este rango es $0$, luego debe ser $b-c=0$. Recíprocamente, si $b=c$, entonces $S=3^2\cdot 37(a-d)$ es claramente múltiplo de $37$.