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Problema 1073
OME Local, 2019-P1
Para cada número de cuatro cifras $\overline{abcd}$, demostrar que $S=\overline{abcd}-\overline{dcba}$ es múltiplo de $37$ si, y solo si, las dos cifras centrales del número $\overline{abcd}$ son iguales.

Nota. En este problema, $\overline{abcd}$ denota al entero de cuatro cifras en que $a$ son las unidades de millar, $b$ las centenas, $c$ las decenas y $a$ las unidades.

pistasolución 1info
Pista. Expresa el número $S$ en términos de los valores de $a,b,c,d$ y observa que podemos factorizar $999=3^2\cdot 37$.
Solución. Podemos escribir \[\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d,\qquad \overline{dcba}=1000d+100c+10b+a,\] luego es fácil calcular \[S=999a+90b-90c-999d=999(a-d)+90(b-c)=3^2\cdot 37(a-d)+90(b-c).\] Si $S$ es múltiplo de $37$, también lo será $90(b-c)=S-3^2\cdot 37(a-d)$; como $90$ es primo relativo con $37$, también lo será $b-c$. Ahora bien, $b-c$ es un entero entre $-9$ y $9$ y el único múltiplo de $37$ en este rango es $0$, luego debe ser $b-c=0$. Recíprocamente, si $b=c$, entonces $S=3^2\cdot 37(a-d)$ es claramente múltiplo de $37$.
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Problema 1072
OIM, 2019-P6
Sean $a_1,a_2,\ldots,a_{2019}$ enteros positivos y $P$ un polinomio con coeficientes enteros tal que, para todo entero positivo $n$, $P(n)$ divide a $a_1^n+a_2^n+\ldots+a_{2019}^n$. Demuestra que $P$ es un polinomio constante.
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Problema 1067
OIM, 2019-P1
Determinar todos los enteros $n\geq 1$ que son iguales a la suma de los cuadrados de sus dígitos.
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Problema 1064
OIM, 2018-P4
Un conjunto $X$ de enteros positivos es ibérico si $X$ es un subconjunto de $\{2,3,4,\ldots,2018\}$ y, siempre que $m$ y $n$ pertenezcan a $X$, entonces $\mathrm{mcd}(m,n)$ pertenece también a $X$. Un conjunto ibérico es olímpico si no está contenido en ningún otro conjunto ibérico. Encontrar todos los conjuntos ibéricos olímpicos que contienen el número $33$.
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Problema 1057
OME Nacional, 2018-P5
Sean $a$ y $b$ dos números positivos primos entre sí. Se dice que un entero positivo $n$ es débil si no puede ser escrito en la forma $n=ax+by$ para algunos enteros $x$ e $y$ no negativos. Probar que si $n\lt\frac{ab}{6}$ es débil, entonces existe un entero $k\geq 2$ tal que $kn$ también es débil.
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