Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que $n\equiv 2\ (\text{mod }3)$ y $d$ es un divisor suyo. Como $d$ no puede ser múltiplo de $3$ (en tal caso, $n$ también lo sería), llegamos a que $d\equiv 1\ (\text{mod }3)$ o bien $d\equiv 2\ (\text{mod }3)$. Su divisor complementario $\frac{n}{d}$ tiene que cumplir $\frac{n}{d}\equiv 2\ (\text{mod }3)$ o bien $\frac{n}{d}\equiv 1\ (\text{mod }3)$, respectivamente, para que $d\cdot\frac{n}{d}=n\equiv 2\ (\text{mod }3)$. Por tanto, tenemos que $d+\frac{n}{2}\equiv 1+2\equiv 0\ (\text{mod }3)$.

De esta manera, en la suma de divisores, tras agrupar cada divisor con su complementario, tendremos una suma de múltiplos de $3$ y hemos resuelto el problema. Sin embargo, queda por ver que todos los divisores están emparejados, lo cual es cierto a no ser que $n$ sea un cuadrado perfecto (en cuyo caso $d=\sqrt{n}$ coincide con su complementario $\frac{n}{d}=\sqrt{n}$). Como todo cuadrado es congruente con $0$ o $1$ módulo $3$, este caso no se da nunca.

Solución. Pongamos que el polígono tiene $n$ lados y escribamos sus ángulos internos como $a,a+d,\ldots,a+(n-1)d$, siendo $d$ la diferencia de la progresión aritmética. Como la suma de los ángulos internos de un $n$-gono es $180(n-2)$ (ya que se puede triangularse en $n-2$ triángulos), deducimos que \[180(n-2)=a+(a+d)+\ldots+(a+(n-1)d)=na+\frac{n(n-1)}{2}d.\] Por tanto, tenemos que resolver la ecuación diofántica \[360(n-2)=2na+n(n-1)d\ \Leftrightarrow\ 2a+(n-1)d=360-\frac{720}{n}.\] Esto acota los valores de $n$ a los divisores de $720$ (mayores o iguales que $3$). Además, para que el polígono sea convexo, sus ángulos tienen que ser menores que $180$, lo que nos dice que el mayor ha de serlo, es decir, $a\lt 180-(n-1)d$. Sustituyendo en la ecuación diofántica, la convexidad se traduce en que $720=(360-2a-(n-1)d)n\gt n(n-1)d\geq n(n-1)$, donde hemos usado que $d\geq 1$ porque nos dicen que no todos los ángulos son iguales. Esto último se traduce en que $3\leq n\leq 27$ y $d\lt\frac{720}{n(n-1)}$.

La idea ahora es que, para cada divisor $3\leq n\leq 27$ de $720$, estudiaremos si existe un par de enteros positivos $(a,d)$ verificando simultáneamente $2a+(n-1)d=360-\frac{720}{n}$ y $d\lt\frac{720}{n(n-1)}$. Lo haremos caso por caso ya que no son muchos

• Si $n=3$, tenemos $2a+2d=120$ y $d\lt 120$. Una solución es $a=d=30$.
• Si $n=4$, tenemos $2a+3d=180$ y $d\lt 60$. Una solución es $a=75$, $d=10$.
• Si $n=5$, tenemos $2a+4d=216$ y $d\lt 36$. Una solución es $a=100$, $d=4$.
• Si $n=6$, tenemos $2a+5d=240$ y $d\lt 24$. Una solución es $a=100$, $d=8$.
• Si $n=8$, tenemos $2a+7d=270$ y $d\lt 13$. Una solución es $a=100$, $d=10$.
• Si $n=9$, tenemos $2a+8d=280$ y $d\lt 10$. Una solución es $a=120$, $d=5$.
• Si $n=10$, tenemos $2a+9d=288$ y $d\lt 8$. Una solución es $a=135$, $d=2$.
• Si $n=12$, tenemos $2a+11d=300$ y $d\lt 6$. Una solución es $a=139$, $d=2$.
• Si $n=15$, tenemos $2a+14d=312$ y $d\lt 4$. Una solución es $a=149$, $d=1$.
• Si $n=16$, tenemos $2a+15d=315$ y $d\lt 3$. Una solución es $a=150$, $d=1$.
• Si $n=18$, tenemos $2a+17d=320$ y $d\lt 3$. Una solución es $a=143$, $d=2$.
• Si $n=20$, tenemos $2a+19d=324$ y $d\lt 2$. En este caso sólo nos queda $d=1$ y no hay solución puesto que el miembro de la derecha sería par y el de la izquierda impar.
• Si $n=24$, tenemos $2a+23d=330$ y $d\lt 2$. Tampoco hay solución por el mismo motivo que en el caso anterior.

Deducimos así que los posibles valores de $n$ son $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $10$, $12$, $15$ y $18$.

Solución. Observemos que podemos restringirnos a $500000=5\cdot 100\cdot 1000$ elecciones de la terna $(a,b,m)$ suponiendo que $a$ está entre $1$ y $100$, $b$ está entre $1$ y $1000$ y $m$ tiene 5 valores posibles. Por tanto, habrá como máximo $500000$ números que pueden expresarse de esta manera. No obstante, algunos de estos números se pasan de $1000000$ (por ejemplo, para $(a,b,m)=(100,1000,8)$), luego realmente habrá menos de la mitad de números menores o iguales que 1000000 que se expresan de esta manera.

Nota. Otra forma de razonar el final es darse cuenta de que hay números que se expresan de dos formas distintas. Por ejemplo, las ternas $(a,b,m)=(4,2,2)$ y $(a,b,m)=(2,4,4)$ producen el mismo número $a^3+mb^2=72$.

Otra forma de razonar el final es darse cuenta de que para $m=0$ no se producen $100000$ valores distintos sino solo $100$ ya que el valor de $b$ no es relevante.