Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $m$ y $n$ enteros positivos primos entre sí. El intervalo $[0,1]$ se divide en $m+n$ subintervalos iguales. Demostrar que cada uno de ellos, excepto el primero y el último, contienen exactamente uno de los números \[\frac{1}{m},\frac{2}{m},\ldots,\frac{m-1}{m},\frac{1}{n},\frac{2}{n},\ldots,\frac{n-1}{n}.\]

Sea $n\gt 3$ un entero y sea $S$ el conjunto de puntos $(a,b)$ de coordenadas enteras $0\leq a,b\lt n$. Demostrar que podemos encontrar $n$ puntos en $S$ de forma que no haya tres alineados ni cuatro que sean los vértices de un paralelogramo.

Consideremos el polinomio $p(x)=x^2+x+1$. Demostrar que, para todo entero positivo $n$, los números $p(n),p(p(n)),p(p(p(n))),\ldots$ son primos relativos dos a dos.

Probar que no hay ningún entero positivo $n$ tal que $1000^n-1$ divida a $1978^n-1$.

Diremos que un entero positivo es un cuadrado doble si es un cuadrado con un número par $2n$ de dígitos en el sistema decimal y tanto sus primeros $n$ dígitos como sus últimos $n$ dígitos forman a su vez cuadrados perfectos no nulos. Por ejemplo, $1681$ es un cuadrado doble pero $2500$ no lo es.

1. Encontrar todos los cuadrados dobles de $2$ dígitos y de $4$ dígitos.
2. Determinar si existen o no cuadrados dobles de $6$ dígitos.
3. Demostrar que hay cuadrados dobles de $20$ dígitos.
4. Demostrar que hay al menos diez cuadrados dobles de $100$ dígitos.
5. Demostrar que hay algún cuadrado doble de $30$ dígitos.