Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La forma más estándar de probar si ese número es primo o compuesto es buscar algún primo tal que esa expresión sea siempre múltiplo del primo o bien buscar una factorización como polinomios. Veamos que se puede hacer esto último. Como se trata de un polinomio de segundo grado, vamos a intentar expresar: \[n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2=(am+bn+c)(dm+en+f).\] Desarrollando el producto de los dos factores e igualando coeficientes, obtenemos directamente del término independiente que $cf=0$, luego supondremos $f=0$ sin pérdida de generalidad. También tenemos que $be=1$ del término independiente, luego supondremos también que $b=e=1$ cambiando el signo de ambos factores si fuera necesario. El término en $n$ nos da ahora $c=1$ y luego el término en $m$ nos da $d=2019$. Finalmente, el término en $m^2$ nos da $a=-1$ y hemos llegado a la siguiente factorización: \[n^2+2018mn+2019m+n-2019m^2=(1-m+n)(2019 m+n).\] Como $m$ y $n$ son naturales (positivos), se tiene que $1-m+n\lt 2019m+n$. Dado que no está garantizado que la expresión del enunciado sea positiva (véase la nota) y dado que $2019m+n\gt 1$, tenemos dos posibilidades:

• Si $1-m+n=1$, entonces $m=n$, lo que nos dice que la expresión del enunciado es igual a $2020m$, que claramente no es primo.
• Si $1-m+n=-1$, entonces despejamos $n=m-2$. Sustituyendo en la expresión del enunciado, esta queda igual a $2(1-1010m)$, que tampoco es primo.

Deducimos así que la expresión no da un número primo sean cuales sean los valores naturales de $m$ y $n$.

Nota. Si consideramos que $0$ es un número natural, entonces tenemos que para $m=0$ y $n=1$, se tiene como resultado $2$, que sí es primo. Se supone que en la prueba se comunicó que $0$ no es un número natural en el contexto de este problema.

Por otro lado, la expresión del enunciado no es necesariamente positiva (por ejemplo para $n=m-2$, como hemos visto, se obtienen valores negativos). Por este motivo, hemos descartado también la posibilidad de que se trate de un primo negativo (en cuyo caso solo admite factorizaciones de la forma $(-1)\cdot p$ y $1\cdot (-p)$.

Solución. Supongamos que el triángulo es $ABC$, con ángulo recto en $B$ y $AB=p^2-1$ y $BC=2p$, luego el teorema de Pitágoras nos da la hipotenusa $AC=p^2+1$. La semicircunferencia es tangente a $AC$ en un punto $T$ y a $BC$ en $B$. Si llamamos $O$ al centro de la semicircunferencia y $r$ a su radio, entonces $OB=OT=r$ y $TC=BC=2p$. Usando el teorema de Pitágoras, llegamos al sistema \[\left\{\begin{array}{l}AO+r=AB=p^2+1,\\AO^2=AT^2+r^2=(AC-CT)^2+r^2=(p-1)^4+r^2.\end{array}\right.\] Factorizando $(p-1)^4=AO^2-r^2=(AO+r)(AO-r)=(p^2+1)(AO-r)$, el sistema queda \[\left\{\begin{array}{l}AO+r=p^2+1,\\AO-r=\frac{(p-1)^4}{p^2-1}=\frac{(p-1)^3}{p+1}.\end{array}\right.\] Restando ambas ecuaciones y simplificando llegamos fácilmente a que \[r=\frac{2p(p-1)}{p+1}.\] Para que este número sea entero, como $p$ y $p+1$ son primos relativos, se debe cumplir que $p+1$ divide a $2(p-1)=2(p+1)-4$, luego también debe dividir a $4$. El único primo en estas condiciones es $p=3$, que claramente cumple la propiedad que buscamos ya que nos da el valor entero $r=3$.

Solución. Podemos escribir \[\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d,\qquad \overline{dcba}=1000d+100c+10b+a,\] luego es fácil calcular \[S=999a+90b-90c-999d=999(a-d)+90(b-c)=3^2\cdot 37(a-d)+90(b-c).\] Si $S$ es múltiplo de $37$, también lo será $90(b-c)=S-3^2\cdot 37(a-d)$; como $90$ es primo relativo con $37$, también lo será $b-c$. Ahora bien, $b-c$ es un entero entre $-9$ y $9$ y el único múltiplo de $37$ en este rango es $0$, luego debe ser $b-c=0$.

Recíprocamente, si $b=c$, entonces $S=3^2\cdot 37(a-d)$ es múltiplo de $37$.