Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Probando con los sumandos más grandes posibles (para intentar minimizar el número de sumandos), llegamos a la siguiente descomposición: \[2009=1111+777+99+22.\] Si ahora trabajamos módulo $11$, observamos que los sumandos de dos y cuatro cifras son congruentes con $0$, mientras que los sumandos de tres cifras son congruentes con la cifra. Como $2009\equiv 7\ (\text{mod }11)$, las cifras de los números de tres cifras que usemos tienen que sumar $7$ o $18$ (si sumaran $25$ o más, nos pasaríamos ya que $25\cdot 111\gt 2009$). Si suman $18$, entonces tendríamos $18\cdot 111=1998$, que nos dejaría $9$ unidades de margen y no pueden obtenerse con otros sumandos puesto que no está permitido usar sumandos de una cifra. Tenemos así que $777$ tiene que ser el único sumando de tres cifras en cualquier descomposición que hagamos de $2009$ con el menor número de sumandos (ya que podríamos descomponer, por ejemplo, $777=444+333$). También tiene que ser necesariamente $1111$ otro sumando ya que no podemos obtener $2009-777=1232$ si sumamos solamente números de dos cifras distintos (tenemos que $11+22+\ldots+99=495\lt 1232$). Teniendo ahora en cuenta que $2009-777-1111=121$ tiene que expresarse como suma de (dos) números de dos cifras, obtenemos fácilmente las únicas cuatro descomposiciones que usan cuatro sumandos: \begin{align*} 2009&=1111+777+99+22,&2009&=1111+777+88+33,\\ 2009&=1111+777+77+44,&2009&=1111+777+66+55. \end{align*} Cualquier otra descomposición se obtiene reordenando sumandos o bien tienen al menos cinco sumandos.

Solución. El polinomio $x^5+x+1$ no tiene raíces enteras pero puede factorizarse como producto de un polinomio de grado $3$ por otro de grado $2$. Para ello, pongamos \begin{align*} x^5+x+1&=(x^3+ax^2+bx+c)(x^2+ex+f)\\ &=x^5+(a+e)x^4+(b+ae+f)x^3+(c+be+af)x^2+(ce+bf)x+cf. \end{align*} Igualando coeficientes, tenemos en primer lugar que $cf=1$, luego pondremos $c=f=1$ ya que buscamos coeficientes enteros (si no nos sale, deberíamos probar con la otra opción $c=f=-1$). Entonces, nos queda que $a+e=0$, $b+ae=-1$, $a+be=-1$ y $e+b=1$. Podemos sustituir entonces $a=-e$ y $b=1-e$ en $b+ae=-1$ para llegar a que $1-e-e^2=-1$, ecuación que tiene soluciones $e=1$ y $e=-2$. Con $e=1$, tenemos $a=-1$ y $b=0$, que cumplen la ecuación restante ($a+be=-1$) y nos dan la factorización deseada: \[x^5+x+1=(x^3-x^2+1)(x^2+x+1).\] Esto nos dice que el número original se puede factorizar (con $x=2^m$) como \[2^{5m}+2^m+1=(2^{3m}-2^{2m}+1)(2^{2m}+2^{m}+1).\] Está claro que $2^{3m}-2^{2m}\gt 0$ (puesto que $m\gt 0$), luego el primer factor no es $\pm 1$. Tampoco lo es el segundo (ya que es mayor que $1$), luego el número $2^{5m}+2^m+1$ es compuesto para todo entero $m\geq 1$.

Solución. Comencemos con el segundo sumando. Como $2222\equiv 3\ (\text{mod }7)$, tenemos que $2222^{5555}\equiv 3^{5555}\ (\text{mod }7)$. Ahora bien, para simplificar el exponente que, trabajando módulo $7$, tenemos que $3^1\equiv 3$, $3^2\equiv 2$, $3^3\equiv 6$, $3^4\equiv 4$, $3^5\equiv 5$ y $3^6\equiv 1$. Hemos llegado a una potencia que es congruente con $1$. Ahora si dividimos $5555$ entre $6$ obtenemos que $5555=925\cdot 6+5$, luego \[2222^{5555}\equiv 3^{5555}=(3^6)^{925}\cdot 3^5\equiv 1^{925}\cdot 5\equiv 5\ (\text{mod }7).\]

De la misma manera, se comprueba que $5555\equiv 4\ (\text{mod }7)$, luego $5555^{222}\equiv 4^{2222}\ (\text{mod }7)$. Tenemos que $4^1\equiv 4$, $4^2\equiv 2$ y $4^3\equiv 1$ módulo $7$, y hacemos la división euclídea de $2222$ entre $3$, que nos da $2222=740\cdot 3+2$. Por tanto, \[5555^{2222}\equiv 4^{2222}=(4^3)^{740}\cdot 4^2\equiv 1^{740}\cdot 2\equiv 2\ (\text{mod }7).\] Esto nos da finalmente el resultado deseado: \[2222^{5555}+5555^{2222}\equiv 5+2\equiv 0\ (\text{mod }7).\]

Solución. Pongamos que $n$ es suma de $k$ números consecutivos. Si llamamos $a\geq 1$ al menor de ellos, usando la conocida fórmula para la suma de los $k-1$ primeros naturales, tenemos que \begin{align*} n=a+(a+1)+\ldots+(a+k-1)&=ka+1+2+\ldots+(k-1)\\ &=ka+\frac{k(k-1)}{2}=k\left(a+\frac{k-1}{2}\right). \end{align*} Esto se puede expresar equivalentemente como \[2n=k(2a+k-1).\] Por tanto, $k$ y $2a+k-1$ deben ser divisores complementarios de $2n$ y además se cumple $2a+k-1\gt k$ ya que $a\geq 1$. Para cada divisor $d$ de $2n$ tal que $1\lt d\lt\sqrt{2n}$, tenemos una posible solución $k=d$ y $2a+k-1=\frac{2n}{d}$, o equivalentemente $2a=\frac{2n}{d}-d+1$. Esto nos da un valor de $a$ positivo, pero podría no ser entero. Si $d$ es impar, entonces $\frac{2n}{d}-d+1$ es par, luego no hay problema. Si $d$ es par, entonces $\frac{2n}{d}-d+1$ es par si y solo si $\frac{2n}{d}$ es impar, es decir, si $d$ es múltiplo de la mayor potencia de $2$ que divide a $n$. En otras palabras, si $\frac{2n}{d}$ es un divisor impar de $n$ (en este caso, la condición $1\lt d\lt\sqrt{2n}$ nos dice que $\sqrt{2n}\lt \frac{2n}{d}\lt 2n$).

Lo anterior se resume diciendo que tenemos una suma de enteros consecutivos igual a $n$ por cada divisor impar de $2n$ distinto del $1$ (aunque $2n$ fuera un cuadrado perfecto, $\sqrt{2n}$ no sería nunca un divisor impar, luego no daría problemas). Si descomponemos en factores primos \[n=2^ap_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r},\] con $p_1,\ldots,p_r$ primos impares distintos, entonces $2n$ tiene exactamente $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)-1$ divisores impares distintos de $1$ (restamos $1$ por esto último). Por tanto, la condición que estamos buscando es que los exponentes de los primos impares verifiquen \[(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)=2008.\] Como $2008=2^3\cdot 251$ y $251$ es primo, tenemos pocas posibilidades para el menor número que verifica la condición del enunciado (ponemos los exponentes más grandes a los primos más pequeños):

• Si $r=1$ y $e_1=2007$, entonces tenemos $n=3^{2007}$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(1003,1)$, entonces $n=3^{1003}\cdot 5$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(501,3)$, entonces $n=3^{501}\cdot 5^3$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(250,7)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5^7$.
• Si $r=3$ y $(e_1,e_2,e_3)=(501,1,1)$, entonces $n=3^{501}\cdot 5\cdot 7$.
• Si $r=3$ y $(e_1,e_2,e_3)=(250,3,1)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5^3\cdot 7$.
• Si $r=4$ y $(e_1,e_2,e_3,e_4)=(250,1,1,1)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$.

De todos estos números, el menor es $n=3^{250}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$.