Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Escribamos $2x+1=n^2$ para cierto entero positivo $n$. El siguiente cuadrado perfecto es $(n+1)^2=n^2+2n+1=2x+2n+2$, luego la condición de que los siguientes $x+1$ números no contengan un cuadrado, se puede escribir como $3x+2\lt 2x+2n+2$, es decir, $x\lt 2n$. Por lo tanto, tenemos que $n^2=2x+1\lt 4n+1$, o equivalentemente $n^2-4n-1\lt 0$. Resolviendo la igualdad, se llega fácilmente a que esta inecuación equivale a que $2-\sqrt{5}\lt n\lt 2+\sqrt{5}\approx 4.2$. Como $n$ tiene que ser un número impar (su cuadrado es impar) y positivo, tenemos solo las posibilidades $n=1$ y $n=3$. Tenemos que descartar también $n=1$ puesto que nos daría $x=0$, que no es positivo.

Comprobamos finalmente que $n=3$ sí es válido ya que nos da $x=4$ y entre los números entre $2x+2=10$ y $3x+2=14$ efectivamente no hay cuadrados perfectos. De esta forma, hemos probado que $x=4$ es la única solución al problema.

Solución. Demostraremos que el número es múltiplo de $a$ (el mismo argumento también prueba que es múltiplo de $b$ y de $c$). Como $(ab)^{c-1}$ y $(ca)^{b-1}$ son múltiplos de $a$ ya que los exponentes son enteros positivos, tendremos que ver que $(bc)^{a-1}-1$ es múltiplo de $a$. Ahora bien, como los tres primos son distintos, se cumple obviamente que $\mathrm{mcd}(bc,a)=1$ y el teorema pequeño de Fermat nos asegura que $(bc)^{a-1}\equiv 1\ (\text{mod }a)$, lo cual equivale a que $(bc)^{a-1}-1$ es múltiplo de $a$ y así hemos terminado.

Solución. La última cifra de $7^n$ es $1,7,9,3,1,7,9,3,\ldots$ para $n=0,1,2,3,4,5,6,7,\ldots$ y, como esta sólo depende de la última cifra de $7^{n-1}$, en cuanto una cifra se repite, la sucesión anterior se vuelve periódica. Deducimos así que $7^n$ tiene última cifra $3$ precisamente cuando $n=4k+3$ (ver la nota). Entonces, tenemos que \[7^{4k+3}=(7^4)^k\cdot 7^3=2401^k\cdot 343\] tendrá sus dos últimas cifras iguales a $43$ ya que $2041^k$ siempre terminará en $01$ para todo $k$.

Nota. Otra forma de ver la periodicidad de la última cifra es darse cuenta de que $7^4=2041\equiv 1\ (\text{mod }10)$, luego si dividimos $n$ entre $4$ y obtenemos que $n=4k+r$ con $0\leq r\leq 3$, se cumplirá que $7^n=(7^4)^k\cdot 7^r\equiv 1\cdot 7^r\equiv 7^r\ (\text{mod }10)$, luego las últimas cifras se repiten de $4$ en $4$. La solución también se puede terminar con el mismo cálculo observando que, de hecho, $7^4\equiv 1\ (\text{mod }100)$.