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La base de datos contiene 2791 problemas y 1109 soluciones.
Problema 1044
Sean $a\geq 1$ y $b\geq 1$ números naturales cuyo máximo común divisor y mínimo común múltiplo designamos por $D$ y $M$, respectivamente. Demostrar que
\[D^2+M^2\geq a^2+b^2.\]
pistasolución 1info
Pista. Usa la relación $DM=ab$ para reescribir la desigualdad.
Solución. Usaremos la relación $DM=ab$ para escribir
\begin{align*}
D^2+M^2-a^2-b^2&=D^2-\frac{a^2b^2}{D^2}-a^2-b^2\\
&=\frac{D^4+a^2b^2-a^2D^2-b^2D^2}{D^2}\\
&=\frac{(a^2-D^2)(b^2-D^2)}{D^2}\geq 0.
\end{align*}
Aquí hemos usado que cualquier número es mayor o igual que un divisor suyo (en este caso, el máximo común divisor $D$ con el otro número). De la desigualdad anterior se deduce claramente la del enunciado.
Nota. La igualdad se alcanza sólo cuando $a=D$ o $b=D$, es decir, cuando $b$ es un múltiplo de $a$ o $a$ es un múltiplo de $b$.
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Problema 1038
OIM, 2017-P1
Para cada entero positivo $n$, sea $S(n)$ la suma de sus dígitos. Decimos que $n$ tiene la propiedad P si los términos de la sucesión infinita
\[\{n,S(n), S(S(n)), S(S(S(n))),\ldots\}\]
son todos pares, y decimos que $n$ tiene la propiedad I si son todos impares. Demostrar que entre todos los enteros positivos $n$ tales que $1\leq n\leq 2017$ son más los que tienen la propiedad I que los que tienen la propiedad P.
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Problema 1034
Sea $p$ un número primo impar y sea
\[S_q=\frac{1}{2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{5\cdot 6\cdot 7}+\ldots+\frac{1}{q(q+1)(q+2)},\]
donde $q=\frac{3p-5}{2}$. Escribimos $\frac{1}{p}-2S_q$ en la forma $\frac{m}{n}$ siendo $m$ y $n$ enteros. Demostrar que $m\equiv n\ (\text{mod }p)$, es decir, $m$ y $n$ dan el mismo resto al ser divididos por $p$.
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Problema 1031
OME Local, 2017-P12
Determinar todos los números naturales $n$ para los que existe algún número
natural $m$ verificando simultáneamente las siguientes dos propiedades:
- El número $m$ tiene al menos dos cifras (en base 10), todas son distintas y ninguna es $0$.
- El número $m$ es múltiplo de $n$ y cualquier reordenación de sus cifras es un múltiplo de $n$.
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Problema 1027
Probar que hay infinitos números primos cuyo resto al dividirlos entre $3$ es
$2$.
pistasolución 1info
Pista. Adapta la demostración clásica de Euclides a este contexto, razonando por reducción al absurdo y suponiendo que hay un número finito de primos de la forma $3k+2$.
Solución. Vamos a adaptar la demostración clásica de Euclides de que hay infinitos primos al caso de primos de la forma $3k+2$. Supongamos por reducción al absurdo que hay un número finito de tales primos y estos son $p_1,p_2,\ldots,p_r$. Distinguimos dos casos:
- Si $r$ es par, entonces el producto $p_1p_2\cdots p_r$ es congruente con $2^r\equiv 1\ (\text{mod }3)$ y consideraremos el número \[N=p_1p_2\cdots p_r+1\equiv 2\ (\text{mod }3).\] Este número no es múltiplo de $3$ ni puede tener todos sus factores congruentes con $1$ módulo $3$ (¿por qué?), luego tiene necesariamente algún factor congruente con $2$, es decir, $N$ tiene que ser divisible por alguno de los números $p_1,p_2,\ldots,p_r$, pero esto es una contradicción ya que $N$ es un múltiplo de cualquiera de ellos más una unidad.
- Si $r$ es impar, entonces $p_1p_2\cdots p_r$ es congruente con $2^r\equiv 2\ (\text{mod }3)$ y tomaremos \[N=p_1p_2\cdots p_r+3\equiv 2\ (\text{mod }3).\] De nuevo, este número ni es múltiplo de $3$ ni puede tener todos sus factores primos congruentes con $1$ módulo $3$, luego tiene algún factor primo $p_i$ de entre los números $p_1,p_2,\ldots,p_r$. En consecuencia, $p_i$ tiene que dividir a $3$, pero esto es una contradicción ya que nos diría que $p_i=3$ pero $N$ no es múltiplo de $3$.
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