Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Supongamos que $n$ y $m$ son números que cumplen las dos condiciones del enunciado. Entonces, para cada par de dígitos $a$ y $b$ de $m$, formamos números $M_1$ y $M_2$ cuyos dígitos son reordenación de los dígitos de $m$, de forma que $M_1$ tiene $a$ decenas y $b$ unidades, $M_2$ tiene $b$ decenas y $a$ unidades, y el resto de dígitos de $M_1$ y $M_2$ coinciden. El número $n$ es divisor de $M_1$ y $M_2$, luego también lo es de $M_1-M_2=(10a+b)-(10b+a)=9(a-b)$. Resumiendo, $n$ tiene que ser un divisor de $9(a-b)$ para cualesquiera dos dígitos $a$ y $b$ de $m$. Además, $|a-b|\leq 8$, luego $n$ tiene que ser un divisor de $2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$.

Si $n$ tuviera algún factor $7$, entonces cualesquiera dos dígitos de $m$ tienen que diferir en $7$ unidades, luego no queda otra más opción que $m$ tenga dos dígitos y sea igual a $18,29,81,92$, pero ninguno de estos números es múltiplo de $7$. Deducimos que $n$ no es múltiplo de $7$ y, de forma análoga, se demuestra que no es múltiplo de $5$ ni de $8$, lo que nos deja con que $n$ tiene que ser divisor de $2^2\cdot 3^2=36$.

Si $n=18$, entonces podemos tomar $m=864$. Cualquier reordenación de los dígitos de $m$ es par y múltiplo de $9$ (la suma de las cifras es $18$, múltiplo de $9$). Si $n=12$, entonces podemos tomar $m=84$ y tanto $84=7\cdot 12$ como $48=4\cdot 12$ son múltiplos de $n$. Notemos además que $m=864$ sirve para cualquier $n$ divisor de $18$ y $m=84$ sirve para cualquier $n$ divisor de $12$. El único que nos queda por dilucidar es $n=36$. En tal caso, cualquier par de dígitos de $m$ debería diferenciarse en un múltiplo de $4$ y ser ambos pares, lo que nos da $26,48,84,62$ como posibles valores de $m$ de dos dígitos y no hay valores de $m$ de tres o más dígitos con esta propiedad. Ninguno de los anteriores es múltiplo de $36$, luego la propiedad es falsa para $n=36$.

La solución al problema son los números $1,2,3,4,6,9,12,18$.

Solución. Vamos a adaptar la demostración clásica de Euclides de que hay infinitos primos al caso de primos de la forma $3k+2$. Supongamos por reducción al absurdo que hay un número finito de tales primos y estos son $p_1,p_2,\ldots,p_r$. Distinguimos dos casos:

• Si $r$ es par, entonces el producto $p_1p_2\cdots p_r$ es congruente con $2^r\equiv 1\ (\text{mod }3)$ y consideraremos el número \[N=p_1p_2\cdots p_r+1\equiv 2\ (\text{mod }3).\] Este número no es múltiplo de $3$ ni puede tener todos sus factores congruentes con $1$ módulo $3$ (¿por qué?), luego tiene necesariamente algún factor congruente con $2$, es decir, $N$ tiene que ser divisible por alguno de los números $p_1,p_2,\ldots,p_r$, pero esto es una contradicción ya que $N$ es un múltiplo de cualquiera de ellos más una unidad.
• Si $r$ es impar, entonces $p_1p_2\cdots p_r$ es congruente con $2^r\equiv 2\ (\text{mod }3)$ y tomaremos \[N=p_1p_2\cdots p_r+3\equiv 2\ (\text{mod }3).\] De nuevo, este número ni es múltiplo de $3$ ni puede tener todos sus factores primos congruentes con $1$ módulo $3$, luego tiene algún factor primo $p_i$ de entre los números $p_1,p_2,\ldots,p_r$. En consecuencia, $p_i$ tiene que dividir a $3$, pero esto es una contradicción ya que nos diría que $p_i=3$ pero $N$ no es múltiplo de $3$.

Solución. Observamos en primer lugar que $n^2$ es par si $n$ es par luego no se puede cumplir la ecuación con $n$ par. Si $n$ es impar, pongamos $n=2k-1$ para un entero positivo $k$, tenemos que $n^2+7=(2k-1)^2+7=4k^2-4k+8=4k(k-1)+8$ es múltiplo de $8$ ya que alguno de los dos números consecutivos $k-1$ o $k$ será par (en otras palabras, hemos visto sin usar congruencias que $n^2\equiv 1\ (\text{mod }8)$ precisamente cuando $n$ es impar). Por tanto, todas las soluciones están dadas en términos de un entero positivo $k$ por la fórmula \[(m,n)=\left(\frac{k(k-1)}{2}+1,2k-1\right).\] Es importante observar que se cumple que $m\gt 0$ y $n\gt 0$ tal y como se pide en el enunciado.

Buscamos ahora el menor valor de $k$ para el que $\frac{k(k-1)}{2}+1\geq 1960$, esto es, $k^2-k\geq 2\cdot 1959=3918$. Si tenemos en cuenta que debe ser $k\geq 1$, podemos despejar \[k^2-k-3920\geq 0\ \Leftrightarrow\ k\geq \frac{1+\sqrt{15673}}{2}.\] Observamos ahora que $125^2=15625$ y $126^2=15876$, luego $125\lt \sqrt{15673}\lt 126$ y esto nos dice que debe ser $k\gt \frac{1+125}{2}=63$. Por tanto, la respuesta a la pregunta del enunciado la obtenemos al tomar $k=64$, que nos da $m=\frac{k(k-1)}{2}+1=2017$ (¡el año!).