Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Como $10$ es primo relativo con $9^4$, el teorema de Euler nos asegura que $n=\varphi(9^4)=\varphi(3^8)=2\cdot 3^7$ verifica que $10^n\equiv 1\ (\mathrm{mod}\ 9^4)$. Entonces, $10^n-1$ es un número formado únicamente por nueves que es múltiplo de $9^4$, luego es charrúa. También es charrúa el número $10^{bn}-1$ para todo entero positivo $b$ ya que $10^{bn}=(10^{n})^b\equiv 1^b=1\ (\mathrm{mod}\ 9^4)$. Como $10^{bn}-1$ tiene $bn$ dígitos, obtenemos de este modo números charrúas con tantos dígitos como queramos.

Nota. Hemos usado la función de Euler $\varphi(n)$ que devuelve el número de enteros entre $1$ y $n$ que son primos relativos con $n$.

Solución. Si $p$ es un número primo distinto de $2$ y $5$, entonces es primo relativo con $10$, luego el teorema pequeño de Fermat nos asegura que $10^{p-1}\equiv 1\ (\text{mod }p)$. En otras palabras, el número $10^{p-1}-1$, que se escribe solo con nueves, es múltiplo de $p$ y también de $9$. Distinguimos dos casos:

• Si $p\neq 3$, entonces $\frac{10^{p-1}-1}{9}$ se escribe sólo con unos y es múltiplo de $p$.
• Si $p=3$, basta tomar $111=3\cdot 37$.

Solución. Llamamos $a_{n,k}$ al $k$-ésimo número de la fila $n$-ésima, de forma que queremos calcular $a_{1994,1}$. Usando la regla de que cada número es suma de los dos inmediatamente superiores (similar a la del triángulo de Pascal), podemos calcular \begin{align*} a_{1994,1}&=a_{1993,1}+a_{1993,2}\\ &=a_{1992,1}+2a_{1992,2}+a_{1992,3}\\ &=a_{1991,1}+3a_{1991,2}+3a_{1991,3}+a_{1991,4}=\ldots \end{align*} Vemos que aparecen los números combinatorios como coeficientes, luego parece entreverse que, para todo $0\leq k\leq 1993$, se va a cumplir que \[a_{1994,1}=\binom{k}{0}a_{1994-k,1}+\binom{k}{1}a_{1994-k,2}+\ldots+\binom{k}{k}a_{1994-k,k+1}.\] Usando que $a_{1994-k,j}=a_{1994-(k+1),j}+a_{1994-(k+1),j+1}$, la fórmula anteriore se demuestra fácilmente por inducción sobre $k$. En particular, para $k=1993$, se tiene que \begin{align*} a_{1994,1}&=\binom{1993}{0}a_{1,1}+\binom{1993}{1}a_{1,2}+\ldots+\binom{1993}{1993}a_{1,1994}\\ &=\binom{1993}{0}\cdot 0+\binom{1993}{1}\cdot 1+\ldots+\binom{1993}{1993}\cdot 1993, \end{align*} donde hemos usado los valores de la primera fila, dados por $a_{1,j}=j+1$ para todo $j$. Deducimos entonces que $a_{1994,1}$ es múltiplo de $1993$ ya que todos los númerso combinatorios $\binom{1993}{j}$ lo son para $1\leq j\leq 1992$ por ser $1993$ primo y los términos con coeficientes $\binom{1993}{0}=1$ y $\binom{1993}{1993}=1$ están multiplicados por $0$ y $1993$, respectivamente.