Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Podemos completar los cuadrados en cada incógnita para expresar de forma equivalente la ecuación como \[(x-\tfrac{1}{2})^2-\tfrac{1}{4}+(y-\frac{3}{2})^2-\tfrac{9}{4}-(z+\tfrac{1}{2})^2+\tfrac{1}{4}=4.\] Tras pasar los términos independientes al miembro de la derecha y multiplicar por 4, tenemos la ecuación equivalente \[(2x-1)^2+(2y-3)^2-(2z+1)^2=25.\] Por tanto, tomando $z=x-1$ e $y=4$, tenemos la familia infinita de soluciones $(x,y,z)=(a,4,a-1)$ para cualquier entero $a$.

Solución. Tenemos que $3^{2004}=9^{1002}=(10-1)^{1002}$. Por lo tanto, podemos desarrollar por el binomio de Newton \[3^{2004}=1-\binom{1002}{1}\cdot 10+\binom{1002}{2}\cdot 10^2-\binom{1002}{3}\cdot 10^3+\ldots\] Todos los términos a partir de los puntos suspensivos van multiplicados por una potencia de $10$ de exponente mayor que $3$, luego no afecta a las cuatro últimas cifras. Ahora bien, tenemos que \begin{align*} \binom{1002}{1}&=1002,\quad \binom{1002}{2}=\frac{1002\cdot 1001}{2}=501\cdot 1001,\\ \binom{1002}{3}&=\frac{1002\cdot 1001\cdot 1000}{6}=167\cdot 1001\cdot 1000. \end{align*} Si hacemos estos productos fijándonos solo en las últimas cifras, tenemos que las dos últimas cifras de $\binom{1002}{2}$ son $01$ y la última de $\binom{1002}{3}$ es $0$, con lo que las cuatro últimas cifras de $3^{2004}$ son las mismas que las de $1-20+100-0=81$, es decir, la respuesta es $0081$.

Solución. Sustituyendo $r=2p+q$ en la segunda ecuación nos queda $676=(2p+q)q+p^2=(p+q)^2$, luego tiene que ser $p+q=26$. Las formas de expresar $26$ como suma de dos primos son \[26=3+23=7+19=13+13=19+7=23+3\] y de todas ellas la única que cumple que $r=2p+q$ es primo es $p=3$ y $q=23$, con lo que $r=29$. El producto que nos piden es $pqr=3\cdot 23\cdot 29=2001$ (¡el año!).

Solución. Supongamos en primer lugar que $x_i$ e $x_{i+1}$ tienen el mismo número de cifras y supongamos que es impar, pongamos $2n+1$, con $n\geq 1$ (el caso de números de una cifra nos da diferencia $x_{i+1}-x_i=1$, que no es primo). Entonces, podemos escribir \[x_i=a_1a_2\ldots a_na_{n+1}a_n\ldots a_2a_1.\] Por lo tanto, $x_i$ está determinado por el número $m=a_1a_2\ldots a_na_{n+1}$ formado por las $n+1$ cifras más significativas. El siguiente número capicúa $x_{i+1}$ tiene una estructura similar pero tiene número asociado $m+1$. Si se cumple que alguno de los dígitos $a_2,\ldots,a_{n+1}$ es distinto de $9$, entonces $m+1$ y $m$ tienen el mismo dígito inicial $a_1$ (que también es el dígito de las unidades de $x_{i+1}$ y $x_i$), por lo que $x_{i+1}-x_i$ es múltiplo de $10$ y no es primo. Supongamos ahora que a_2=\ldots=a_{n+1}=9$, luego $x_i=a_199\ldots99a_1$ y $x_{i+1}=(a_1+1)00\ldots00(a_1+1)$. En consecuencia, en este caso tenemos que $x_{i+1}-x_i=11$, que sí es primo.

Si ahora $x_i$ y $x_{i+1}$ tienen el mismo número de cifras y este número es par $2n$, con $n\geq 2$ (el caso $n=2$ nos da claramente el primo $11$), el razonamiento es similar tomando $m=a_1a_2\ldots a_n$ el número formado por las $n$ cifras más significativas.

Finalmente, si $x_i$ y $x_{i+1}$ tienen distinto número de cifras, entonces $x_i=999\ldots 99$ y $x_{i+1}=1000\ldots 01$, que tienen diferencia $2$ unidades. Deducimos así que los únicos primos que se pueden expresar de esta forma son $2$ y $11$.

Solución. Llamemos $a,b,c,d,e$ a las cifras del número ordenadas de decenas de millar a unidades. En los números de tres cifras formados con $a,b,c,d,e$, cada una de ellas aparece $12$ veces en las centenas, $12$ en las decenas y $12$ en las unidades ya que una vez fijado un dígito en una posición hay $4$ posibles elecciones en otra posición y, para cada una de ellas, $3$ en la última posición. Esto nos dice que la suma de los números de tres cifras distintas que se pueden formar con $a,b,c,d,e$ es igual a \[1200(a+b+c+d+e)+120(a+b+c+d+e)+12(a+b+c+d+e)=1332(a+b+c+d+e),\] donde el primer término (con coeficiente $1200$) viene de la suma de las centenas, el segundo (con coeficiente $120$) viene de las decenas y el último (con coeficiente $12$) de las unidades. Entonces, la condición del enunciado se reescribe equivalentemente como \[1332(a+b+c+d+e)=N=10000a+1000b+100c+10d+e.\qquad (\star)\] Como $1332$ es múltiplo de $9$, deducimos que $N$ es múltiplo de $9$, luego la suma $a+b+c+d+e$ también lo es. Esto nos dice que $N$ es múltiplo de $9\cdot 1332=11988$. Los únicos múltiplos de $11988$ menores que $100000$ que tienen todos sus dígitos distintos son \[\{23976,35964,47952,71928,83916\}\] y de ellos el único que cumple $(\star)$ es $N=35964$, luego esta es la única solución.