Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Para cada conjunto finito de enteros positivos $X$, definimos \[P(X)=\prod_{x\in X}x,\qquad S(X)=\sum_{x\in X}x^2,\qquad D(X)=P(X)-S(X).\] Ahora consideramos la sucesión de conjuntos definida por $X_0=A$ y $X_k=X_{k-1}\cup\{P(X_{k-1})-1\}$ para todo $k\geq 1$; en particular, todos los $X_k$ contienen a $A$ ya que se pasa de $X_{k-1}$ a $X_k$ añadiendo un elemento. Será suficiente encontrar $k$ tal que $D(X_k)=0$ y definir $B=X_k$.

Comenzamos observando que \[S(X_0)=\sum_{k=1}^nk^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\lt n(n-1)(n-2)\lt \prod_{k=1}^nk=P(X_0).\] ya que, para $n\gt 5$, se tiene que $n+1\lt 2(n-2)$ y $2n+1\lt 3(n-1)$. Esto nos dice que $D(X_0)=P(X_0)-S(X_0)\gt 0$. Ahora bien, se tiene que \begin{align*} D(X_k)&=P(X_k)-S(X_k)=P(X_{k-1})(P(X_{k-1})-1)-S(X_{k-1})-(P(X_{k-1})-1)^2\\ &=P(X_{k-1})^2-P(X_{k-1})-S(X_{k-1})-P(X_{k-1})^2+2P(X_{k-1})-1=D(X_{k-1})-1. \end{align*} Por lo tanto, la sucesión $D(X_k)$ comienza en un número positivo y decrece en una unidad en cada paso. Deducimos que será cero tras un cierto número de términos y hemos terminado.

Solución. En el apartado (a) es suficiente tomar $k=jm$, siendo $m$ el mínimo común múltiplo de $c_1,c_2,\ldots,c_n$ y $j$ cualquier entero positivo. De esta forma, es obvio que $kc_\alpha=jmc_\alpha$ divide a $kc_\beta\cdot kc_\gamma=j^2m^2c_\beta c_\gamma$ para cualesquiera subíndices $\alpha,\beta,\gamma$.

En cuanto al apartado (b), consideremos $p_1,p_2,\ldots,p_n$ primos distintos y sea $c_i=p_1\cdots p_{i-1}p_{i+1}\cdots p_n$ el producto de todos los primos excepto $p_i$. Está claro también que $c_\alpha$ divide a $c_\beta c_\gamma$ para cualesquiera subíndices distintos $\alpha,\beta,\gamma$ ya que $c_\beta c_\gamma$ contiene a todos los primos en su factorización.

Solución. Si $n$ es negativo, podemos cambiar $n$ por $-n$ y suponer que $n$ es positivo sin pérdida de generalidad. Ahora bien, podemos expresar $n=1000a+b$ para ciertos enteros $a$ y $b$, donde $0\leq b\leq 999$ es el número que representa las tres últimas cifras de $n$ y $a\geq 0$ las cifras restantes. Entonces, tenemos que \[k=b-a=n-1000a-a=n-1001a=n-7\cdot 11\cdot 13a.\] Esto nos dice que si $7$, $11$ o $13$ dividen a $n$, el miembro de la derecha será múltiplo de este factor, luego $k$ también lo será. Análogamente, si despejamos $n=k+7\cdot 11\cdot 13a$, tenemos que si $k$ es múltiplo de $7$, $11$ o $13$, también lo será $n$.