Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar el mayor entero $n$ con la propiedad de que $n$ es divisible por todos los enteros positivos menores que $\sqrt[3]{n}$.

Demostrar que, dados enteros positivos $a$ y $b$ cualesquiera, el número $(36a+b)(a+36b)$ no puede ser una potencia de $2$.

Encontrar un número entero $n$, con $100 \leq n \leq 1997$, tal que $$\frac{2^n+2}{n}$$ también sea un número entero.

Sea $a_1, a_2, \dots, a_n$ una sucesión de enteros con valores entre $2$ y $1995$ verificando las siguientes dos condiciones:

• Cualesquiera dos de los $a_i$ son primos entre sí.
• Cada $a_i$ es o bien un número primo o bien un producto de números primos.

Determinar el menor valor posible de $n$ que garantiza que la sucesión contiene al menos un número primo.

Se tienen tres listas $A$, $B$ y $C$ de números enteros. La lista $A$ contiene números de la forma $10^k$ en base $10$, con $k \geq 1$. Las listas $B$ y $C$ contienen los mismos números escritos, respectivamente, en base 2 y en base 5. Por ejemplo: $$\begin{array}{c|c|c} A & B & C \\ \hline 10 & 1010 & 20 \\ 100 & 1100100 & 400 \\ 1000 & 1111101000 & 13000 \\ \vdots & \vdots & \vdots \end{array}$$ Demostrar que para cada entero $n\gt 1$ hay exactamente un número que aparece en exactamente una de las listas $B$ o $C$ y que tiene exactamente $n$ dígitos (en su respectiva base).