Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 936
OME Local, 2013-P7
Dado un número entero $n$ escrito en el sistema de numeración decimal, formamos el número entero $k$ restando del número formado por las tres últimas cifras de $n$ el numero formado por las cifras anteriores restantes. (por ejemplo, si $n=3486411$, entonces $k=411-3486=-3075$). Demostrar que $n$ es divisible por $7$, $11$ o $13$ si, y solo si, lo es $k$.
pistasolución 1info
Pista. Si $n=1000a+b$ con $0\leq b\leq 999$, entonces $k=b-a$.
Solución. Si $n$ es negativo, podemos cambiar $n$ por $-n$ y suponer que $n$ es positivo sin pérdida de generalidad. Ahora bien, podemos expresar $n=1000a+b$ para ciertos enteros $a$ y $b$, donde $0\leq b\leq 999$ es el número que representa las tres últimas cifras de $n$ y $a\geq 0$ las cifras restantes. Entonces, tenemos que \[k=b-a=n-1000a-a=n-1001a=n-7\cdot 11\cdot 13a.\] Esto nos dice que si $7$, $11$ o $13$ dividen a $n$, el miembro de la derecha será múltiplo de este factor, luego $k$ también lo será. Análogamente, si despejamos $n=k+7\cdot 11\cdot 13a$, tenemos que si $k$ es múltiplo de $7$, $11$ o $13$, también lo será $n$.
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Problema 929
OIM, 2012-P6
Demostrar que, para todo entero positivo $n$, existen $n$ enteros positivos consecutivos tales que ninguno de ellos es divisible por la suma de sus dígitos.
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Problema 927
OIM, 2012-P4
Sean $a,b,c,d$ números enteros positivos tales que $a-b+c-d$ es impar y divide a $a^2-b^2+c^2-d^2$. Demostrar que $a-b+c-d$ divide a $a^n-b^n+c^n-d^n$ para todo entero positivo $n$.
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Problema 926
OIM, 2012-P3
Sea $n$ un entero positivo. Dado un conjunto $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ de enteros entre $0$ y $2^n-1$ (ambos incluidos), a cada uno de sus $2^n$ subconjuntos se les asigna la suma de sus elementos (se considera que el subconjunto vacío tiene suma $0$) Si estas $2^n$ sumas dejan distintos residuos al dividirlas entre $2^n$, se dice que el conjunto $\{a_1, a_2,\ldots,a_n\}$ es $n$-completo. Determinar, para cada $n$, la cantidad de conjuntos $n$-completos.
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Problema 925
OIM, 2012-P2
Un entero positivo es bisumado si se puede escribir como suma de dos enteros positivos que tengan la misma suma de sus dígitos. Por ejemplo, 2012 es bisumado pues $2012 = 2005+7$ y tanto $2005$ como $7$ tienen suma de dígitos igual a $7$. Encontrar todos los enteros positivos que no son bisumados.
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