Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La condición que nos dan se escribe como \[1000a+100b+10c+d=(10a+b)^2+(10c+d)^2-(10c+d).\] Si ahora escribimos $r=10a+b$ y $s=10c+d$, esto puede reescribirse como \[100r+s=r^2+s^2-s\ \Longleftrightarrow\ (r-50)^2+(s-1)^2=2501,\] donde lo único que hemos hecho es completar cuadrados. Ahora bien, como un cuadrado tiene cifra de las unidades igual a $0,1,4,5,6,9$, la ecuación $x^2+y^2=2501$ implica que las cifras de las unidades de $x^2$ e $y^2$ son $0$ y $1$ o bien $5$ y $6$ (en algún orden). Además, sólo tenemos que probar con $1\leq x\leq \sqrt{1250}\lt 36$, lo que nos dice que \[x\in\{1,4,5,6,9,10,11,14,15,16,19,20,21,24,25,26,29,30,31,34,35\}.\] Analizando los casos para los que $2501-x^2$ es cuadrado perfecto, nos queda solo $x=1$ y $x=10$ (hay más trucos para descartar casos; por ejemplo, $x$ no puede ser múltiplo de $3$, ¿sabrías justificar por qué?). Tenemos entonces las descomposiciones $1^2+50^2=10^2+49^2=2501$.

Por lo tanto, $|r-50|$ y $|s-1|$ son iguales a $1$, $10$, $49$ o $50$. Obviamente, no puede ser $|r-50|=50$ ni $r-50=-49$ porque no se cumpliría que $10\leq r\leq 99$. Tenemos así cinco soluciones (observemos que en cada una de ellas sólo hay un valor posible de $s$ porque el otro, para el otro signo en el valor absoluto, no cumple que $0\leq s\leq 99$):

• Si $r=49$, entonces $s=51$, lo que nos da la solución $4951$.
• Si $r=51$, entonces $s=49$, lo que nos da la solución $5149$.
• Si $r=40$, entonces $s=50$, lo que nos da la solución $4050$.
• Si $r=60$, entonces $s=50$, lo que nos da la solución $6050$.
• Si $r=99$, entonces $s=11$, lo que nos da la solución $9911$.

Nota. Si permitimos que $a=0$, con el mismo razonamiento también tenemos las soluciones con $r=0$ (que implica $s=0$ o $s=2$) y con $r=1$ (que implica $s=11$), luego también tendríamos los números $0000$, $0002$ y $0111$.

Solución. Por simplicidad, podemos suponer que $x,y\geq 0$ cambiándolos de signo si fuera necesario. Es bastante evidente la factorización $x^2-y^4=(x-y^2)(x+y^2)$ como diferencia de cuadrados, por lo que, para cada divisor positivo $d$ de $2009$ tenemos una potencial solución con $x-y^2=d$ y $x+y^2=\frac{2009}{d}$. Como $2009$ es impar, las soluciones de este sistema \[x=\frac{\frac{2009}{d}+d}{2},\qquad y^2=\frac{\frac{2009}{d}-d}{2}\] son números enteros, pero es necesario comprobar para qué elecciones de $d$ el segundo término $\frac{\frac{2009}{d}-d}{2}$ es un cuadrado perfecto. Para que sea positivo, además tendremos que $0\lt d\leq\sqrt{2009}\lt 45$, lo que nos deja solamente tres posibilidades:

• $d=1$ nos da $y^2=1004$, que no es un cuadrado perfecto.
• $d=7$ nos da $y^2=140$, que no es un cuadrado perfecto.
• $d=41$ nos da $y^2=4$, luego $y=2$ y $x=45$.

Finalmente, teniendo en cuenta que habíamos supuesto que las soluciones son positivas, deducimos que las soluciones enteras son $(-45,-2)$, $(-45,2)$, $(45,-2)$ y $(45,2)$.