Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $p(x)$ un polinomio con coeficientes enteros y sea $f(n)$ la suma de los dígitos de $p(n)$ en el sistema decimal. Demostrar que existe un entero positivo $a$ tal que $f(n)=a$ para infinitos valores de $n$.

¿Cuál es el menor perímetro que puede tener un polígono convexo de $32$ lados si sus vértices tienen todos coordenadas enteras?

Encontrar todos los números de tres dígitos $\overline{abc}$ que sean iguales a la media aritmética de los seis números \[\overline{abc},\quad\overline{acb},\quad\overline{bac},\quad\overline{bca},\quad\overline{cab},\quad\overline{cba}.\]

Nota. $\overline{xyz}$ indica el número natural de tres cifras que tiene $x$ centenas, $y$ decenas y $z$ unidades.

Encontrar todos los enteros positivos $m$ y $n$ tales que $n^n$ tiene $m$ dígitos mientras que $m^m$ tiene $n$ dígitos (en el sistema decimal).

Sea $n$ un enero positivo con $k$ dígitos. Un número $m$ se llama alero de $n$ si existen dígitos $a_1,a_2,\ldots,a_k$ todos ellos distintos entre sí y distintos de cero, tales que $m$ se obtiene añadiendo el dígito $a_i$ al $i$-ésimo dígito de $n$ y ninguna de estas sumas excede $9$. Encontrar el menor $n$ que es múltiplo de $2024$ que tiene un alero que también es múltiplo de $2024$.

Nota. Por ejemplo, si $n=2024$ y elegimos $a_1=2$, $a_2=1$, $a_3=5$ y $a_4=3$, entonces $m=4177$ es un alero de $n$, pero si elegimos los dígitos $a_1=2$, $a_2=1$, $a_3=5$ y $a_4=6$, entonces no obtenemos un alero ya que $4+6$ se pasa de $9$.