Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Comencemos con el segundo sumando. Como $2222\equiv 3\ (\text{mod }7)$, tenemos que $2222^{5555}\equiv 3^{5555}\ (\text{mod }7)$. Ahora bien, para simplificar el exponente que, trabajando módulo $7$, tenemos que $3^1\equiv 3$, $3^2\equiv 2$, $3^3\equiv 6$, $3^4\equiv 4$, $3^5\equiv 5$ y $3^6\equiv 1$. Hemos llegado a una potencia que es congruente con $1$. Ahora si dividimos $5555$ entre $6$ obtenemos que $5555=925\cdot 6+5$, luego \[2222^{5555}\equiv 3^{5555}=(3^6)^{925}\cdot 3^5\equiv 1^{925}\cdot 5\equiv 5\ (\text{mod }7).\]

De la misma manera, se comprueba que $5555\equiv 4\ (\text{mod }7)$, luego $5555^{222}\equiv 4^{2222}\ (\text{mod }7)$. Tenemos que $4^1\equiv 4$, $4^2\equiv 2$ y $4^3\equiv 1$ módulo $7$, y hacemos la división euclídea de $2222$ entre $3$, que nos da $2222=740\cdot 3+2$. Por tanto, \[5555^{2222}\equiv 4^{2222}=(4^3)^{740}\cdot 4^2\equiv 1^{740}\cdot 2\equiv 2\ (\text{mod }7).\] Esto nos da finalmente el resultado deseado: \[2222^{5555}+5555^{2222}\equiv 5+2\equiv 0\ (\text{mod }7).\]

Solución. Pongamos que $n$ es suma de $k$ números consecutivos. Si llamamos $a\geq 1$ al menor de ellos, usando la conocida fórmula para la suma de los $k-1$ primeros naturales, tenemos que \begin{align*} n=a+(a+1)+\ldots+(a+k-1)&=ka+1+2+\ldots+(k-1)\\ &=ka+\frac{k(k-1)}{2}=k\left(a+\frac{k-1}{2}\right). \end{align*} Esto se puede expresar equivalentemente como \[2n=k(2a+k-1).\] Por tanto, $k$ y $2a+k-1$ deben ser divisores complementarios de $2n$ y además se cumple $2a+k-1\gt k$ ya que $a\geq 1$. Para cada divisor $d$ de $2n$ tal que $1\lt d\lt\sqrt{2n}$, tenemos una posible solución $k=d$ y $2a+k-1=\frac{2n}{d}$, o equivalentemente $2a=\frac{2n}{d}-d+1$. Esto nos da un valor de $a$ positivo, pero podría no ser entero. Si $d$ es impar, entonces $\frac{2n}{d}-d+1$ es par, luego no hay problema. Si $d$ es par, entonces $\frac{2n}{d}-d+1$ es par si y solo si $\frac{2n}{d}$ es impar, es decir, si $d$ es múltiplo de la mayor potencia de $2$ que divide a $n$. En otras palabras, si $\frac{2n}{d}$ es un divisor impar de $n$ (en este caso, la condición $1\lt d\lt\sqrt{2n}$ nos dice que $\sqrt{2n}\lt \frac{2n}{d}\lt 2n$).

Lo anterior se resume diciendo que tenemos una suma de enteros consecutivos igual a $n$ por cada divisor impar de $2n$ distinto del $1$ (aunque $2n$ fuera un cuadrado perfecto, $\sqrt{2n}$ no sería nunca un divisor impar, luego no daría problemas). Si descomponemos en factores primos \[n=2^ap_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r},\] con $p_1,\ldots,p_r$ primos impares distintos, entonces $2n$ tiene exactamente $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)-1$ divisores impares distintos de $1$ (restamos $1$ por esto último). Por tanto, la condición que estamos buscando es que los exponentes de los primos impares verifiquen \[(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)=2008.\] Como $2008=2^3\cdot 251$ y $251$ es primo, tenemos pocas posibilidades para el menor número que verifica la condición del enunciado (ponemos los exponentes más grandes a los primos más pequeños):

• Si $r=1$ y $e_1=2007$, entonces tenemos $n=3^{2007}$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(1003,1)$, entonces $n=3^{1003}\cdot 5$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(501,3)$, entonces $n=3^{501}\cdot 5^3$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(250,7)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5^7$.
• Si $r=3$ y $(e_1,e_2,e_3)=(501,1,1)$, entonces $n=3^{501}\cdot 5\cdot 7$.
• Si $r=3$ y $(e_1,e_2,e_3)=(250,3,1)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5^3\cdot 7$.
• Si $r=4$ y $(e_1,e_2,e_3,e_4)=(250,1,1,1)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$.

De todos estos números, el menor es $n=3^{250}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$.

Solución. Podemos poner denominador común y escribir \[\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n}=\frac{3 n^2+6 n+2}{n (n+1) (n+2)}.\] Observamos que si $n$ es impar, entonces el numerador es impar y el denominador es par. Si $n=2k$ es par, entonces el denominador es múltiplo de $4$ ya que $n$ y $n+2$ son pares consecutivos, mientras que el numerador es igual a $2(6 k^2+6 k+1)$ y sólo tiene un factor $2$. Esto nos dice que en cualquier expresión como fracción del número $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n}$ tendremos que el denominador es par. En particular, nunca se puede poner como una fracción en la que el denominador sea $999\cdots 9$ (como les pasa a todos los periódicos puros).

Finalmente, descartamos también que el número sea un decimal exacto. Esto viene de que el denominador $n (n+1) (n+2)$ es múltiplo de $3$ (es el producto de tres enteros consecutivos) mientras que el numerador $3n^2+6n+2$ deja resto $2$ al dividirlo entre $3$. Un número decimal limitado se tiene que poder escribir como una fracción en la que el denominador sólo tiene factores $2$ o $5$, pero este argumento nos dice que en cualquier fracción que exprese a este número habrá un factor $3$ en el denominador.

Solución. Si $p$ es un número primo distinto de $2$ y $5$, entonces es primo relativo con $10$, luego el teorema pequeño de Fermat nos asegura que $10^{p-1}\equiv 1\ (\text{mod }p)$. En otras palabras, el número $10^{p-1}-1$, que se escribe solo con nueves, es múltiplo de $p$.