Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $a$ y $b$ los dígitos de las unidades y decenas de $n$, respectivamente.

• Si $a=1$, el dígito $7$ aparece en las unidades de $7\cdot n$.
• Si $a=3$, el dígito $7$ aparece en las unidades de $9\cdot n$.
• Si $a=7$, el dígito $7$ aparece en las unidades de $1\cdot n$.
• Si $a=9$, el dígito $7$ aparece en las unidades de $3\cdot n$.

Para el caso $a=2$:

• Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $35\cdot n$.
• Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
• Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $8\cdot n$.
• Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $18\cdot n$.
• Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $9\cdot n$.
• Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $11\cdot n$.
• Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
• Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $8\cdot n$.
• Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $7\cdot n$.
• Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.

Para el caso $a=4$, tenemos

• Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $18\cdot n$.
• Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
• Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
• Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
• Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $4\cdot n$.
• Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
• Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $9\cdot n$.
• Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $1\cdot n$.
• Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $8\cdot n$.
• Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $4\cdot n$.

Para el caso $a=5$, tenemos:

• Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $15\cdot n$.
• Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
• Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
• Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
• Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
• Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
• Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $15\cdot n$.
• Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $1\cdot n$.
• Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
• Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.

Para el caso $a=6$, tenemos:

• Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $12\cdot n$.
• Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $11\cdot n$.
• Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
• Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
• Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
• Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $12\cdot n$.
• Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $33\cdot n$.
• Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $1\cdot n$.
• Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
• Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.

Para el caso $a=8$, tenemos:

• Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $9\cdot n$.
• Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $4\cdot n$.
• Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $17\cdot n$.
• Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
• Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $12\cdot n$.
• Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
• Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $4\cdot n$.
• Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $1\cdot n$.
• Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
• Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $11\cdot n$.

Finalmente, si $a=0$, el problema se reduce a los casos anteriores ya que podemos eliminar todos los ceros a la derecha sin alterar el resultado.

Nota. Da más pereza pensarlo que ponerse a hacerlo. Si no hay errores en los cálculos, se debería poder completar la solución sobradamente en menos de media hora. En realidad, no hay que hacer las multiplicaciones, sino sumar el número consigo mismo repetidas veces (sólo las dos últimas cifras), hasta que una de ellas sea $7$. En todos los casos de la solución se ha indicado el menor factor que resuelve el problema.