Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Las dos últimas cifras de \(a_n\) sólo dependen de las dos últimas cifras de \(a_{n-1}\), luego bastará calcular algunos términos hasta que se repitan las dos últimas cifras. En realidad, esto podría ser un proceso muy largo, pero da la casualidad de que obtenemos la siguiente sucesión de últimas cifras: \[03\to 12\to 56\to 92\to 56\to 92\to 56\to 92\to\ldots\] De esta forma, salvo los dos primeros, vemos que los siguientes se repiten por parejas. En particular, las dos últimas cifras de \(a_{2000}\) son las mismas que las de \(a_4\), luego la respuesta a la pregunta es \(92\).

Solución. Sea $s\geq 2$ un entero. Tomando $n=3s-2$ obtenemos $\frac{n-1}{n+2}=\frac{3s-3}{3s}=\frac{s-1}{s}$ y sumando esta fracción consigo misma $s-1$ veces obtenemos el número racional $\frac{(s-1)^2}{s}=s-2+\frac{1}{s}$. Ahora bien, para $n=0$ obtenemos el número $\frac{n-1}{n+2}=\frac{-1}{2}$ que, sumado al anterior $2(s-2)$ veces, nos dice que podemos conseguir $\frac{1}{s}$. Cualquier fracción de denominador $s$ se puede obtener sumando esta consigo misma y con $\frac{-1}{2}$ repetidas veces. Nótese que los números enteros (que tienen denominador $1$) también se pueden obtener de esta manera para cualquier $s$.

Solución. Supongamos que el número es $n=1000a+100b+10c+d$, siendo $a$ la cifra de las unidades de millar, $b$ la de las centenas, $c$ la de las decenas y $d$ la de las unidades. Los números que se obtienen al insertar un cero son los cuatro siguientes: \begin{align*} N_1&=10000a+100b+10c+d\\ N_2&=10000a+1000b+10c+d\\ N_3&=10000a+1000b+100c+d\\ N_4&=10000a+1000b+100c+10d. \end{align*} Como son todo múltiplos de $7$, $N_4-N_3=9d$ también lo es, luego tiene que ser $d=7$ o bien $d=0$. De la misma forma, $N_3-N_2=90c$ es múltiplo de $7$, luego $c=7$ o $c=0$. También $N_2-N_1=900b$ nos da que $b=0$ o $b=7$. Finalmente, $10N_1-N_4=90000a$ nos dice que $a=0$ o $a=7$, pero no puede ser $a=0$ porque entonces el número no sería de cuatro cifras. Nos quedan pues los siguientes posibles valores de $n$: \begin{align*} 7000&&7007&&7070&&7077\\ 7700&&7707&&7770&&7777. \end{align*} Como todos ellos verifican claramente la propiedad del enunciado, deducimos que estas son las únicas soluciones.

Solución. Ser divisible por $45$ es lo mismo que ser divisible simultáneamente por $5$ y por $9$. Por un lado tenemos que \[A(n)\equiv 1+1+1+\ldots+1=n\ (\text{mod }5),\] luego $A(n)$ es múltiplo de $5$ si y solo si $n$ lo es. Por otro lado, \[A(n)\equiv 1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2\ (\text{mod }9),\] ya que cada número es congruente con la suma de sus cifras módulo $9$ y donde hemos usado además la fórmula conocida para la suma de los $n$ primeros números naturales. Ahora bien, $\frac{n(n+1)}2$ es múltiplo de $9$ cuando $n$ o $n+1$ sean múltiplos de $9$ (ambos no pueden ser múltiplos de $3$ porque son enteros consecutivos). Buscando el primer múltiplo positivo de $5$ tal que $n$ o $n+1$ sean múltiplos de $9$, llegamos rápidamente a que la respuesta a la pregunta del enunciado es $n=35$.