Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Pongamos que los números son $n-1,n,n+1,n+2$ por simplicidad, luego su producto $P$ puede expresarse después de completar un cuadrado como \begin{align*} P=(n-1)n(n+1)(n+2)&=(n^3-n)(n+2)\\ &=n^4+2n^3-n^2-2n=(n^2+n-1)^2-1. \end{align*} Por tanto, $P$ es una unidad menos que un cuadrado; si $P$ fuera un cuadrado, entonces la única posibilidad es $P=0$, contradiciendo que $P$ es el producto de cuatro enteros positivos.

En cuanto a que $P$ sea un cubo, observamos que dos números consecutivos no tienen factores comunes y dos números que difieren en dos unidades solo pueden tener a $2$ como factor común, luego $n$ o $n+1$ (el que sea impar) no tiene factores comunes con los otros factores. Por tanto, si $P$ es un cubo, entonces $n$ o $n+1$ tienen que ser cubos y al eliminar estos factores de $P$ también queda un cubo. Distingamos los dos casos:

• Si $n$ y $(n-1)(n+1)(n+2)=n^3+2n^2-n-2$ fueran cubos, tendríamos que \[n^3\lt n^3+2n^2-n-2\lt n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3,\] lo cual es una contradicción, luego $P$ no es cubo en este caso.
• Si $n+1$ y $(n-1)n(n+2)=(n^2-n)(n+2)=n^3+n^2-n$ fueran cubos, tendríamos que \[n^3\leq n^3+n^2-n\lt n^3+3n^2+3n+1=(n+1)^3.\] La igualdad en la primera desigualdad se da sólo si $n=2$, pero entonces $P=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$ no es un cubo. Por tanto, $P$ no es un cubo tampoco en este caso.

Nota. Completar el cuadrado puede parecer sofisticado, es una técnica estándar que consiste en igualar el máximo número de coeficientes del polinomio con un cuadrado de la forma $(n^2+an+b)^2$, en cuyo caso se obtiene que $a=1$ y $b=-1$ (en este caso se igualan todos menos el término independiente). La técnica de acotar entre dos potencias consecutivas también es muy estándar para ver cuándo una expresión no es igual a una potencia. Lo interesante del segundo apartado es cómo pasar de un polinomio de grado $4$ a otro de grado $3$.

Solución. Sean $a$ y $b$ los dígitos de las unidades y decenas de $n$, respectivamente.

• Si $a=1$, el dígito $7$ aparece en las unidades de $7\cdot n$.
• Si $a=3$, el dígito $7$ aparece en las unidades de $9\cdot n$.
• Si $a=7$, el dígito $7$ aparece en las unidades de $1\cdot n$.
• Si $a=9$, el dígito $7$ aparece en las unidades de $3\cdot n$.

Para el caso $a=2$:

• Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $35\cdot n$.
• Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
• Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $8\cdot n$.
• Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $18\cdot n$.
• Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $9\cdot n$.
• Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $11\cdot n$.
• Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
• Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $8\cdot n$.
• Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $7\cdot n$.
• Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.

Para el caso $a=4$, tenemos

• Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $18\cdot n$.
• Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
• Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
• Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
• Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $4\cdot n$.
• Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
• Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $9\cdot n$.
• Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $1\cdot n$.
• Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $8\cdot n$.
• Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $4\cdot n$.

Para el caso $a=5$, tenemos:

• Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $15\cdot n$.
• Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
• Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
• Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
• Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
• Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.
• Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $15\cdot n$.
• Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $1\cdot n$.
• Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
• Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $5\cdot n$.

Para el caso $a=6$, tenemos:

• Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $12\cdot n$.
• Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $11\cdot n$.
• Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
• Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
• Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.
• Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $12\cdot n$.
• Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $33\cdot n$.
• Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $1\cdot n$.
• Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
• Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $6\cdot n$.

Para el caso $a=8$, tenemos:

• Si $b=0$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $9\cdot n$.
• Si $b=1$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $4\cdot n$.
• Si $b=2$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $17\cdot n$.
• Si $b=3$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
• Si $b=4$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $12\cdot n$.
• Si $b=5$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $3\cdot n$.
• Si $b=6$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $4\cdot n$.
• Si $b=7$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $1\cdot n$.
• Si $b=8$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $2\cdot n$.
• Si $b=9$, el dígito $7$ aparece en las decenas de $11\cdot n$.

Finalmente, si $a=0$, el problema se reduce a los casos anteriores ya que podemos eliminar todos los ceros a la derecha sin alterar el resultado.

Nota. Da más pereza pensarlo que ponerse a hacerlo. Si no hay errores en los cálculos, se debería poder completar la solución sobradamente en menos de media hora. En realidad, no hay que hacer las multiplicaciones, sino sumar el número consigo mismo repetidas veces (sólo las dos últimas cifras), hasta que una de ellas sea $7$. En todos los casos de la solución se ha indicado el menor factor que resuelve el problema.