Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Observamos que \begin{align*} 2025=(ab-c)^2+(ac+b)^2&=a^2b^2-2abc+c^2+a^2c^2+2abc+b^2\\ &=a^2b^2+c^2+a^2c^2+b^2=(a^2+1)(b^2+c^2). \end{align*} Esto nos dice que $a^2+1$ y $b^2+c^2$ son divisores (positivos) de $2025$. Los divisores positivos de $2025=3^4\cdot 5^2$ son \[\{1, 3, 5, 9, 15, 25, 27, 45, 75, 81, 135, 225, 405, 675, 2025\}.\] El factor $a^2+1$ es una unidad más de un cuadrado y los únicos números de la lista anterior que cumplen esta propiedad son $1$ y $5$ (puede comprobarse fácilmente caso por caso). Esto nos dice que $a^2=0$ o bien $a^2=4$. Distingamos casos:

• Si $a=0$, entonces el sistema del enunciado nos da directamente $c=-27$ y $b=36$.
• Si $a=2$, el sistema original se reduce a $2b-c=27$ y $2c+b=36$. Este sistema lineal se resuelve fácilmente y tiene solución única $b=18$ y $c=9$.
• Si $a=-2$, el sistema original se reduce a $-2b-c=27$ y $-2c+b=36$. Este sistema lineal tiene solución única $b=\frac{-18}{5}$ y $c=\frac{-99}{5}$, que no son números enteros, luego no obtenemos soluciones en este caso.

Deducimos que las únicas soluciones son $(a,b,c)=(0,36,-27)$ y $(a,b,c)=(2,18,9)$.

Solución. Podemos pensar en este sistema como un sistema lineal con incógnitas $b$ y $c$ y siendo $a$ un parámetro. El sistema es compatible determinado (tiene solución única) y su solución es \[b=\frac{9 (3 a+4)}{a^2+1},\qquad c\frac{9 (4 a-3)}{a^2+1}.\] Para obtenerla, sólo hay que sumar o restar a una ecuación la otra multiplicada por $a$. Ahora bien, esta solución tiene que ser entera y $a$ también entero. Podemos eliminar la $a$ del numerador observando que \[4b-3c=\frac{9 (12 a+16)}{a^2+1}-\frac{9 (12 a-9)}{a^2+1}=\frac{225}{a^2+1}.\] De aquí tenemos que $a^2+1$ tiene que ser un divisor (positivo) de $225$, es decir, uno de los siguientes números: \[\{1, 3, 5, 9, 15, 25, 45, 75, 225\}.\] El factor $a^2+1$ es una unidad más de un cuadrado y los únicos números de la lista anterior que cumplen esta propiedad son $1$ y $5$ (puede comprobarse fácilmente caso por caso). Esto nos dice que $a^2=0$ o bien $a^2=4$. Distingamos casos:

• Si $a=0$, entonces el sistema del enunciado nos da directamente $c=-27$ y $b=36$.
• Si $a=2$, el sistema original se reduce a $2b-c=27$ y $2c+b=36$. Este sistema lineal se resuelve fácilmente y tiene solución única $b=18$ y $c=9$.
• Si $a=-2$, el sistema original se reduce a $-2b-c=27$ y $-2c+b=36$. Este sistema lineal tiene solución única $b=\frac{-18}{5}$ y $c=\frac{-99}{5}$, que no son números enteros, luego no obtenemos soluciones en este caso.

Deducimos que las únicas soluciones son $(a,b,c)=(0,36,-27)$ y $(a,b,c)=(2,18,9)$.

Solución. Sea $r=a\triangledown p$ el resto de dividir $a$ entre $p$. Entonces, tenemos que

• $a\triangledown 2p$ es igual a $r$ o $r+p$,
• $a\triangledown 3p$ es igual a $r$, $r+p$ o $r+2p$,
• $a\triangledown 2p$ es igual a $r$, $r+p$, $r+2p$ o $r+3p$.

En consecuencia, la condición del enunciado implica que \[a+p=a\triangledown p+a\triangledown 2p+a\triangledown 3p+a\triangledown 4p=4r+kp,\] siendo $0\leq k\leq 6$ un entero. Tomando en esta igualdad congruencias módulo $p$, tenemos además que $r\equiv 4r\ (\text{mod }p)$, es decir, $3r\equiv 0\ (\text{mod }p)$. Esto nos da dos casos: $r=0$ y $p$ un primo arbitrario o bien $p=3$ y $r\in\{1,2\}$.

1. Si $r=0$, entonces la condición $a+p=4r+kp$ nos da como únicas posibles soluciones $(p,p)$, $(2p,p)$, $(3p,p)$, $(4p,p)$ y $(5p,p)$. Es fácil ver que $(5p,p)$ es la única que cumple la condición del enunciado y vale para todo primo $p$.
2. Si $p=3$ y $r=1$, entonces tenemos las posibles soluciones $(1,3)$, $(4,3)$, $(7,3)$, $(10,3)$, $(13,3)$, $(16,3)$ y $(19,3)$. Puede comprobarse fácilmente que $(1,3)$ es la única que cumple la condición del enunciado.
3. Finalmente, si $p=3$ y $r=2$, las posibles soluciones $(5,3)$, $(8,3)$, $(11,3)$, $(14,3)$, $(17,3)$, $(20,3)$ y $(23,3)$. Se comprueba de nuevo una por una y se ve rápidamente que $(17,3)$ es la única que cumple la condición del enunciado.

Resumiendo, hemos probado que los únicos pares $(a,p)$ que cumplen la condición del enunciado son $(1,3)$, $(17,3)$ y los de la forma $(5p,p)$ para cualquier primo $p\geq 2$.