Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar los posibles valores de los dígitos $b$ y $c$ tales que el número $b\ldots b6c\ldots c4$, en el que colocamos $n$ dígitos iguales a $b$ y $n$ dígitos iguales a $c$, es un cuadrado perfecto para todo entero positivo $n$.

Un cierto entero $n$ es primo independientemente de cómo se reordenen sus dígitos (por ejemplo, $n=337$ cumple esta condición ya que $337$, $373$ y $733$ son primos). Demostrar que $n$ no puede tener más de tres dígitos distintos.

Encontrar enteros positivos $m$ y $n$ tales que \[\left(5+3\sqrt{2}\right)^m=\left(3+5\sqrt{2}\right)^n.\]

Supongamos que $m,n,k$ son enteros positivos tales que $n^m$ divide a $m^n$ y $k^n$ divide a $n^k$. Demostrar que $k^m$ divide a $m^k$.