Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dado un entero positivo $n$, demostrar que \[1^{1987}+2^{1987}+\ldots+n^{1987}\] es divisible entre $n+2$.

Un divisor propio de un entero positivo $N$ es un divisor positivo de $N$ distinto de $N$. La sucesión infinita $a_1, a_2,\ldots$ está formada por enteros positivos, cada uno de los cuales tiene al menos tres divisores propios, de modo que, para cada $n\geq 1$, el entero $a_{n+1}$ es la suma de los tres mayores divisores propios de $a_n$. Determinar todos los valores posibles de $a_1$.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de los enteros positivos. Una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ se llama genial si $f(a)$ dividea a $b^a-f(b)^{f(a)}$ para todos los enteros positivos $a$ y $b$. Determinar la menor constante real $c$ tal que $f(n)\leq cn$ para todas las funciones geniales $f$ y todos los enteros positivos $n$.

Sea $S$ un conjunto de enteros comprendidos entre $n^2$ y $(n+1)^2$. Demostrar que no hay dos parejas distintas de elementos de $S$ que tengan el mismo producto.

Hallar los enteros positivos $a,b,c$ tales que $a^2+b=c$, sabiendo que tanto $a$ como $b$ son números formados por $n$ dígitos iguales y $c$ está formado por $2n$ dígitos iguales.