Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2717 problemas y 972 soluciones.
Problema 2415
USAMO, 1991-P3
Demostrar que, para cada $n\geq 1$, la sucesión
\[2,\ 2^2,\ 2^{2^2},\ 2^{2^{2^2}},\ldots\quad(\text{mod }n)\]
es constante a partir de cierto término en adelante.
Nota: la torre de exponentes se define recursivamente como $a_1=2$ y $a_{k+1}=2^{a_k}$ para tod $k\neq 1$. Además, la notación $(\text{mod }n)$ significa que nos quedamos con el resto módulo $n$ de cada elemento $a_k$.
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Problema 2398
USAMO, 1988-P1
Al expresar una fracción irreducible $\frac{m}{n}$ como número decimal, se observa que tiene anteperiodo (es decir, hay al menos un decimal antes del periodo). Demostrar que $n$ es divisible por $2$ o por $5$.
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Problema 2393
USAMO, 1987-P1
Hallar todas las soluciones de la ecuación
\[(m^2+n)(n^2+m)=(m-n)^3,\]
siendo $m$ y $n$ enteros no nulos.
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Problema 2390
USAMO, 1986-P3
¿Cuál es el menor entero $n\geq 1$ para el que la media cuadrática de los primeros $n$ enteros positivos es un entero?
Nota. La media cuadrática de $n$ números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ se define como \[\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}{n}}.\]
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Problema 2388
USAMO, 1986-P1
- ¿Existen $14$ enteros positivos consecutivos tales que cada uno de ellos tiene algún factor primo $2\leq p\leq 11$?
- ¿Existen $21$ enteros positivos consecutivos tales que cada uno de ellos tiene algún factor primo $2\leq p\leq 13$?
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