Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Es bien conocido que si $r$ y $s$ son números enteros, entonces $r-s$ divide a $p(r)-p(s)$ (ver la nota). Esto nos dice que, si existe el polinomio propuesto, $62-19=43$ divide a $2-1=1$, lo cual es claramente imposible.

Nota. En realidad, la propiedad propuesta se deduce de que $r-s$ divide a $r^n-s^n$ para todo $n\in\mathbb{N}$, lo cual es a su vez consecuencia de la factorización \[r^n-s^n=(r-s)(r^{n-1}+r^{n-2}s+r^{n-3}s^2+\ldots+s^{n-1}).\]

Solución. Consideremos el número \[a_n=(4+\sqrt{11})^n+(4-\sqrt{11})^n.\] Desarrollando por el binomio de Newton, tenemos que \[a_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}4^{n-k}11^{k/2}(1+(-1)^k),\] luego todos los términos en que $k$ es impar se anulan y el resto queda duplicado. Esto nos dice que $a_n$ es un número par para todo $n\in\mathbb{N}$. Otra forma de ver esto es comprobar que se cumple la relación $a_n=8a_{n-1}+5a_{n-2}$ y, como $a_0=2$ y $a_1=8$ son pares, se sigue que todos los $a_n$ son pares. Ahora bien, se cumple que $4-\sqrt{11}\approx 0.683375$, luego $(4-\sqrt{11})^n$ está entre $0$ y $1$ para todo $n\in\mathbb{N}$. En consecuencia, $(4+\sqrt{11})^n$ es igual al número par $a_n$ menos un número entre $0$ y $1$, luego su parte entera es impar.

Solución. Es fácil encontrar las soluciones $n=1$ y $n=3$, para las que obtenemos $8=2^3$ y $128=2^7$, mientras que $n=2$ no es solución ya que $5^2+3=28$ no es potencia de $2$. Supondremos que existe otra solución $5^n+3=2^k$ con $n\gt 3$ y $k\gt 7$ y llegaremos a una contradicción, lo que nos dirá que las anteriores son las dos únicas soluciones.

Restando $5^n+3=2^k$ y $5^3+3=2^7$, tenemos que $5^n-5^3=2^k-2^7$, que podemos factorizar como $125(5^{n-3}-1)=128(2^{k-7}-1)$. Como $125$ y $2^{k-7}-1$ son impares, se tendrá que $\nu_2(5^{n-3}-1)=7$, donde $\nu_2$ indica la valoración $2$-ádica (el exponente de $2$ en la factorización de $5^{n-3}-1$. Observamos también que $n$ debe ser impar ya que $\nu_2(5^{2r}+3)=2$ para todo entero positivo $r$, por ser $5^{2r}+3\equiv 4\pmod{8}$. Por tanto, si usamos el lema del levantamiento del exponente (LTE) para el exponente par $n-3$ y el primo $p=2$, obtenemos que \[7=\nu_2(5^{n-3}-1)=\nu_2(5-1)+\nu_2(5+1)+\nu_2(n-3)-1=2+\nu_2(n-3),\] luego ha de ser $\nu_2(n-3)=5$, es decir, $n=32j+3$ con $j$ impar. Poniendo $j=2h+1$ llegamos a que $n=64h+35$ para algún entero positivo $h$.

Trabajando módulo $17$, tenemos que $2^{16}\equiv 5^{16}\equiv 1\pmod{17}$ por el pequeño teorema de Fermat, luego \[5^{64h+35}\equiv (5^{16})^{4h+2}\cdot 5^3\equiv 125\equiv 6\pmod{17}.\] Por otro lado, $2^4\equiv 16\pmod{17}$ y $2^8=256\equiv 1\pmod{17}$, luego $2^k$ se repite cada ocho elementos módulo $17$. Tenemos que \begin{align*} 2^0&\equiv 1\pmod{17},&2^1&\equiv 2\pmod{17},&2^2&\equiv 4\pmod{17},&2^3&\equiv 8\pmod{17},\\ 2^4&\equiv 16\pmod{17},&2^5&\equiv 15\pmod{17},&2^6&\equiv 13\pmod{17},&2^7&\equiv 9\pmod{17}. \end{align*}

Como ninguno de estos residuos es igual a $6$, deducimos que $5^{64h+35}+3$ nunca es igual a una potencia de $2$ y hemos terminado.

Nota. Si se considera $n=0$ como número natural, habría que incluirlo como solución ya que en tal caso tenemos $5^0+3=2^2$, pero esto no afecta al resto del razonamiento.

Solución. Llamemos $a_1,\ldots,a_8$ a las longitudes de los ocho lados del octógono, escritos de forma consecutiva. Vamos a demostrar que $a_1=a_5$ puesto que las otras igualdades $a_2=a_6$, $a_3=a_7$ y $a_4=a_8$ se demuestran de forma similar.

Para ello, vamos a tomar las rectas que contienen a los lados impares $a_1,a_3,a_5,a_7$. Como los ángulos interiores son iguales a $45º$, estas rectas son paralelas dos a dos y forman un rectángulo $R$. Además, si a $R$ le quitamos el octógono, quedarán cuatro triángulos rectángulos isósceles de hipotenusas $a_2,a_4,a_6,a_8$, por lo que sus catetos serán $\frac{a_2}{\sqrt{2}},\frac{a_4}{\sqrt{2}},\frac{a_6}{\sqrt{2}},\frac{a_8}{\sqrt{2}}$, respectivamente. Imponiendo ahora que los lados opuestos de $R$ deben tener igual longitud, nos quedan las relaciones \[\frac{a_4+a_6}{2}\sqrt{2}+a_5=\frac{a_8+a_2}{2}\sqrt{2}+a_1,\qquad \frac{a_2+a_4}{2}\sqrt{2}+a_3=\frac{a_6+a_8}{2}\sqrt{2}+a_7.\] Si usamos finalmente que los lados tienen longitudes enteras, entonces los términos que multiplican a $\sqrt{2}$ deben ser iguales (ya que $\sqrt{2}$ es irracional, mientras que el resto de términos son racionales), lo que nos lleva a reformular las igualdades anteriores como \[\frac{a_4+a_6}{2}=\frac{a_8+a_2}{2},\qquad a_5=a_1,\qquad \frac{a_2+a_4}{2}\sqrt{2}=\frac{a_6+a_8}{2},\qquad a_3=a_7,\] probando así la igualdad que queríamos.

Nota. ¿Es cierto el mismo resultado para un hexágono?

Solución. Que los tres últimos dígitos coincidan equivale a que \[1978^n-1978^m=1978^m(1978^{n-m}-1)\equiv 0\ (\text{mod }1000).\] Esto implica que $m\geq 3$ ya que $1000=2^35^3$ y nos bastará trabajar módulo $5^3=125$. Vamos a buscar, por tanto, el menor entero $k$ tal que $1978^k\equiv 1\ (\text{mod }125)$. El teorema de Euler-Fermat nos dice que $1978^{\varphi(125)}\equiv 1\ (\text{mod }125)$ ya que $\mathrm{mcd}(125,1978)=1$, siendo $\varphi(125)=5^2(5-1)=100$. El menor exponente $k$ que estamos buscando debe ser un divisor de $100$ (ver nota), lo que nos da las posibilidades $k=1,2,4,5,10,20,25,50,100$. Ahora bien, como $1978\equiv 103\ (\text{mod }125)$, tenemos que \[1978^{2}\equiv 103^2=10609\equiv 109\ (\text{mod }125),\quad 1978^4\equiv 109^2=11881\equiv 6\ (\text{mod }125),\] luego podemos calcular \[1978^{20}\equiv 103^4(103^4)^4=6\cdot 6^4\equiv 6\cdot 36^2\equiv 6\cdot 46\equiv 26\ (\text{mod }125).\] Esto nos dice que el $k$ buscado no es igual a ninguno de los números $1,2,3,4,10,20$ (divisores de $20$). Probemos ahora $k=50$, lo que nos permitirá descartar también $25$ y $50$: \[1978^{50}\equiv 103^2((103^4)^4)^3=109\cdot 46^3\equiv 109\cdot 86\equiv 124\ (\text{mod }125).\] Esto nos deja sólo la posibilidad $k=100$, que nos da $m=3$ y $n=103$. Por tanto, la menor suma posible es $m+n=106$.

Nota. La afirmación de que $k$ debe ser un divisor de $100$ es un hecho conocido, pero vamos a demostrarlo. Si tomamos $d=\mathrm{mcd}(k,100)$, entonces la identidad de Bézout nos dice que existen $u$ y $v$ tales que $d=ku+100v$, luego $1978^d=(1978^k)^u(1978^{100})^v\equiv 1\ (\text{mod }125$. Si $k$ es el menor entero positivo que cumple $1978^k\equiv 1\ (\text{mod }125)$, entonces tiene que ser $d=k$, es decir, $k$ es un divisor de $100$.