Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Consideremos los enteros $a=x-y$ y $b=y-z$, con lo que $z-x=-a-b$. Así, \begin{align*} (x-y)^5+(y-z)^5+(z-x)^5&=a^5+b^5-(a+b)^5\\ &=-5ab(a^3+2ab+2ab+b^3)\\ &=-5ab(a+b)(a^2+ab+b^2). \end{align*} Por tanto, el número dado es múltiplo de $-5ab(a+b)=5(x-y)(y-z)(z-x)$.

Solución. La mayor suma de cifras posible para números de 1998 cifras es que todas sean nueves, con lo cual podemos estimar $x\leq 9\cdot 1998=17982$. El número con mayor suma de cifras menor o igual que $17982$ es $9999$, lo que nos da la estimación $y\leq 9+9+9+9=36$. El número menor o igual que $36$ con mayor suma de cifras es $29$, que nos da $z\leq 2+9=11$. Ahora bien, la divisibildad entre $9$ se mantiene al sumar las cifras, luego $x$, $y$ y $z$ han de ser todos múltiplos de $9$. Esto nos deja con las posibilidades $z=0$ y $z=9$. Como $z=0$ no es posible (sólo sería posible si $n=0$), tenemos que $z=9$.

Solución. Es bien conocido que si $r$ y $s$ son números enteros, entonces $r-s$ divide a $p(r)-p(s)$ (ver la nota). Esto nos dice que, si existe el polinomio propuesto, $62-19=43$ divide a $2-1=1$, lo cual es claramente imposible.

Nota. En realidad, la propiedad propuesta se deduce de que $r-s$ divide a $r^n-s^n$ para todo $n\in\mathbb{N}$, lo cual es a su vez consecuencia de la factorización \[r^n-s^n=(r-s)(r^{n-1}+r^{n-2}s+r^{n-3}s^2+\ldots+s^{n-1}).\]

Solución. Consideremos el número \[a_n=(4+\sqrt{11})^n+(4-\sqrt{11})^n.\] Desarrollando por el binomio de Newton, tenemos que \[a_n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}4^{n-k}11^{k/2}(1+(-1)^k),\] luego todos los términos en que $k$ es impar se anulan y el resto queda duplicado. Esto nos dice que $a_n$ es un número par para todo $n\in\mathbb{N}$. Otra forma de ver esto es comprobar que se cumple la relación $a_n=8a_{n-1}+5a_{n-2}$ y, como $a_0=2$ y $a_1=8$ son pares, se sigue que todos los $a_n$ son pares. Ahora bien, se cumple que $4-\sqrt{11}\approx 0.683375$, luego $(4-\sqrt{11})^n$ está entre $0$ y $1$ para todo $n\in\mathbb{N}$. En consecuencia, $(4+\sqrt{11})^n$ es igual al número par $a_n$ menos un número entre $0$ y $1$, luego su parte entera es impar.

Solución. Es fácil encontrar las soluciones $n=1$ y $n=3$, para las que obtenemos $8=2^3$ y $128=2^7$, mientras que $n=2$ no es solución ya que $5^2+3=28$ no es potencia de $2$. Supondremos que existe otra solución $5^n+3=2^k$ con $n\gt 3$ y $k\gt 7$ y llegaremos a una contradicción, lo que nos dirá que las anteriores son las dos únicas soluciones.

Restando $5^n+3=2^k$ y $5^3+3=2^7$, tenemos que $5^n-5^3=2^k-2^7$, que podemos factorizar como $125(5^{n-3}-1)=128(2^{k-7}-1)$. Como $125$ y $2^{k-7}-1$ son impares, se tendrá que $\nu_2(5^{n-3}-1)=7$, donde $\nu_2$ indica la valoración $2$-ádica (el exponente de $2$ en la factorización de $5^{n-3}-1$. Observamos también que $n$ debe ser impar ya que $\nu_2(5^{2r}+3)=2$ para todo entero positivo $r$, por ser $5^{2r}+3\equiv 4\pmod{8}$. Por tanto, si usamos el lema del levantamiento del exponente (LTE) para el exponente par $n-3$ y el primo $p=2$, obtenemos que \[7=\nu_2(5^{n-3}-1)=\nu_2(5-1)+\nu_2(5+1)+\nu_2(n-3)-1=2+\nu_2(n-3),\] luego ha de ser $\nu_2(n-3)=5$, es decir, $n=32j+3$ con $j$ impar. Poniendo $j=2h+1$ llegamos a que $n=64h+35$ para algún entero positivo $h$.

Trabajando módulo $17$, tenemos que $2^{16}\equiv 5^{16}\equiv 1\pmod{17}$ por el pequeño teorema de Fermat, luego \[5^{64h+35}\equiv (5^{16})^{4h+2}\cdot 5^3\equiv 125\equiv 6\pmod{17}.\] Por otro lado, $2^4\equiv 16\pmod{17}$ y $2^8=256\equiv 1\pmod{17}$, luego $2^k$ se repite cada ocho elementos módulo $17$. Tenemos que \begin{align*} 2^0&\equiv 1\pmod{17},&2^1&\equiv 2\pmod{17},&2^2&\equiv 4\pmod{17},&2^3&\equiv 8\pmod{17},\\ 2^4&\equiv 16\pmod{17},&2^5&\equiv 15\pmod{17},&2^6&\equiv 13\pmod{17},&2^7&\equiv 9\pmod{17}. \end{align*}

Como ninguno de estos residuos es igual a $6$, deducimos que $5^{64h+35}+3$ nunca es igual a una potencia de $2$ y hemos terminado.

Nota. Si se considera $n=0$ como número natural, habría que incluirlo como solución ya que en tal caso tenemos $5^0+3=2^2$, pero esto no afecta al resto del razonamiento.