Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Juan escribe la lista de parejas $(n,3^n)$ para $n=1,2,3,\ldots$ en una pizarra. A medida que va escribiendo la lista, subraya las parejas $(n,3^n)$ siempre que $n$ y $3^n$ tienen la misma cifra de las unidades. De las parejas subrayadas, ¿cuál ocupa la posición 2013?

Un entero positivo es divertido si para todo $d$ divisor positivo de $n$, $d+2$ es un número primo. Encontrar todos los números divertidos que tengan la mayor cantidad posible de divisores.

Un entero positivo se denomina tico si es el producto de tres números primos diferentes que suman $74$. Comprobar que $2014$ es tico. ¿Cuál es el próximo año tico? ¿cuál será el último año tico de la historia?

Determinar todas las ternas $(p,q,r)$ de enteros positivos, donde $p$ y $q$ son números primos, tales que: \[\frac{r^2-5q^2}{p^2-1}=2.\]

Una terna ordenada de números primos $(p,q,r)$ es parcera si cumple que $p$ divide a $q^2-4$, $q$ divide a $r^2-4$ y $r$ divide a $p^2-4$. Encontrar todas las triplas parceras.