Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Dados enteros positivos $m$ y $n$, demostrar que podemos rellenar las casillas de un tablero $m\times n$ con cuadrados perfectos de forma que las sumas de los elementos de cada fila y cada columna sean también cuadrados perfectos.

Demostrar que no existe ningún cuadrilátero convexo cuyos vértices tienen coordenadas enteras tal que una diagonal tiene longitud el doble que la otra y se cortan en un ángulo de $45^\circ$.

¿Existe algún entero positivo $n$ tal que la suma de sus dígitos es $1000$ y la suma de los cuadrados de sus dígitos es $1000000$?

Encontrar los posibles valores de los dígitos $b$ y $c$ tales que el número $b\ldots b6c\ldots c4$, en el que colocamos $n$ dígitos iguales a $b$ y $n$ dígitos iguales a $c$, es un cuadrado perfecto para todo entero positivo $n$.

Un cierto entero $n$ es primo independientemente de cómo se reordenen sus dígitos (por ejemplo, $n=337$ cumple esta condición ya que $337$, $373$ y $733$ son primos). Demostrar que $n$ no puede tener más de tres dígitos distintos.