Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Expresamos $N=\sum_{k=0}^{2024}d_k10^k$, donde $1\leq d_k\leq 9$ representa el $k$-ésimo dígito de $N$, luego se cumple que $M=\sum_{k=0}^{2024}d_{2024-k}10^k$ ya que estos dígitos están en orden inverso. También denotaremos por $\ell_k$ la llevada al sumar los dígitos de orden $10^k$ en $M$ y $N$ (y hay que tener en cuenta también la llevada anterior). Por tanto, se cumple que \[\ell_k=\begin{cases}1&\text{si }d_{k-1}+d_{2024-k+1}+\ell_{k-1}>9,\\ 0&\text{en caso contrario},\end{cases}\] donde entenderemos que $\ell_{0}=0$ (es decir, al sumar las unidades no hay que sumar llevadas). De esta forma, el dígito de orden $10^k$ de $M+N$ será el dígito de las unidades de $a_k=\ell_k+d_k+d_{2024-k}$. Vamos a razonar que debe haber un dígito par en $M+N$ por reducción al absurdo, suponiendo que todos los $a_k$ son impares y llegando a una contradicción.

Como $a_{1012}=2d_{2012}+\ell_{2012}$ es impar, entonces $\ell_{2012}=1$. Esto nos dice que $a_{1011}=d_{1011}+d_{1013}+\ell_{1011}>9$ y, como estamos suponiendo que es impar, deducimos que $d_{1011}+d_{1013}+\ell_{1011}\geq 11$. Por lo tanto, $d_{1013}+d_{1011}\geq 10$, lo que nos da una llevada $\ell_{1014}=1$. Para que $a_{1014}=d_{1014}+d_{1010}+\ell_{1014}$ sea par, $d_{1014}+d_{1010}$ debe ser par, luego $\ell_{1010}=1$. Esto nos dice que $d_{1009}+d_{1015}+\ell_{1010}\geq 11$, lo que nos da $\ell_{1016}=1$ y $\ell_{1008}=1$ repitiendo el mismo razonamiento. De hecho, se puede razonar análogamente para ver que $\ell_{1006}=\ell_{1004}=\ell_{1002}=\ldots=1$ y terminar probando que $\ell_0=1$, contradiciendo nuestra definición $\ell_0=0$.