Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. El truco está en probar que existe $n\in\mathbb{N}$ tal que los últimos $k+1$ dígitos de $p^n$ son $0\stackrel{(k)}{\ldots}01$, o lo que es lo mismo tal que $p^n\equiv 1 (\mathrm{mod}\ 10^{k+1})$. Usando el teorema de Euler y el hecho de que $p$ y $10^{k+1}$ son primos entre sí (ya que $p$ es primo distinto de $2$ y $5$), bastará tomar $n=\varphi(10^{k+1})$, siendo $\varphi$ la función de Euler.

Nota. Para $p=3$ y, más general, para cualquier natural $p$ (no necesariamente primo) tal que $\mathrm{mcd}(p,10)=1$ la demostración es la misma.

Solución. El exponente de $7$ en la descomposición de $2008!$ en factores primos es $331$ (¿por qué?). Entonces podemos expresar $2008!=7^{331}\cdot a$ para cierto número natural $a$ que no es múltiplo de $7$, luego en la ecuación original tenemos que \[x^{2008}=7^y\cdot 3^y-7^{331}\cdot a.\] Si $y\gt 331$, entonces el exponente de $7$ en la descomposición del miembro de la derecha en factores primos es $331$, mientras que si $y\leq 331$, dicho exponente es igual a $y$. Como el exponente de $7$ en el miembro de la izquierda es múltiplo de $2008$, la única posibilidad es que este exponente sea cero, es decir, $y=0$. No obstante, no puede haber ninguna solución de la ecuación con $y=0$ ya que en tal caso $x^{2008}=21^0-2008!\lt 0$ pero $x^{2008}$ siempre es mayor o igual que cero. Esto termina de probar el enunciado.

Solución. La ecuación del enunciado se puede expresar como \[(x-5)(y-4)=47.\] Como $47$ es un número primo, llegamos a que $x-5$ e $y-4$ tienen que ser $\pm 1$ ó $\pm 47$. Tenemos así cuatro posibilidades:

• $x-5=1$ e $y-4=47$, lo que nos lleva a $x=6$ e $y=51$.
• $x-5=-1$ e $y-4=-47$, lo que nos lleva a $x=4$ e $y=-43$.
• $x-5=47$ e $y-4=1$, lo que nos lleva a $x=52$ e $y=5$.
• $x-5=-47$ e $y-4=-1$, lo que nos lleva a $x=-42$ e $y=3$.

Estas son las cuatro soluciones del problema.

Solución. Como aparecen potencias pares, podemos suponer que $n\geq 0$. Si probamos unos cuantos números, veremos que obtenemos $1$ para $n=0$ (que no es primo), $3$ para $n=1$ (que sí es primo) y, después siempre obtenemos números compuestos: esto será lo que intentaremos ver. Para probar que el resultado de evaluar un polinomio de coeficientes enteros es compuesto, suele ser útil factorizar el polinomio. No es difícil llegar a que \[n^4+n^2+1=(n^2+n+1)(n^2-n+1).\] Además, el factor $n^2+n+1$ es mayor que $1$ para $n\geq 1$ y el factor $n^2-n+1$ es mayor que $1$ para $n\geq 2$, lo que nos dice que $n^4+n^2+1$ es compuesto para $n\geq 2$. Por tanto, los únicos números que cumple el enunciado son $n=\pm 1$.

Solución. Es preciso darse cuenta de que \[\frac{Q}{P}=\frac{(2n)(2n-1)\cdots n}{n(n-1)\cdots 2\cdot 1}=\frac{(2n)!}{n!\cdot n!}=\left(\begin{matrix}2n\\n\end{matrix}\right).\] Como los números combinatorios son números naturales, deducimos que $P$ divide a $Q$.