Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observemos que la condición del enunciado puede reescribirse como \[(a+c)(a-b)=a^2.\] Si probamos que $a+c$ y $a-b$ son primos entre sí, entonces tienen que ser cuadrados perfectos ya que son positivos (¿por qué?) y al multiplicarlos obtenemos un cuadrado perfecto. Razonando por reducción al absurdo, si $a+c$ y $a-b$ tuvieran algún factor primo común $p$, entonces la condición $(a+c)(a-b)=a^2$ nos dice que $p$ divide a $a$. Si $p$ divide a los números $a$, $a+c$ y $a-b$, entonces también divide a $c=(a+c)-a$ y $b=a-(a-b)$, de donde $p$ es un factor primo común a $a$, $b$ y $c$, lo cual es una contradicción.

Nota. Esto mismo prueba que $a+c$ es un cuadrado perfecto. Por otro lado, la condición del enunciado también se escribe como $(c-b)(a-b)=b^2$, lo que nos dice que $b-c$ es otro cuadrado perfecto. Además, como $a-b$ y $c-b$ son cuadrados perfectos (y, en particular, positivos), tenemos que $a>c>b$.

Solución. Sea $n$ un múltiplo de $100$ cualquiera, pongamos $n=100k$. Entonces, los números $k$, $2k$, $4k$, $5k$, $10k$, $20k$, $25k$ y $50k$ son divisores de $n$ menores que $100k$ y en total suman $117k$, luego la suma de todos los divisores de $n$, que es al menos de $117k$, es mayor que $n$.

Nota. Esta misma solución se puede adaptar para demostrar que los múltiplos de un número abundante son también abundantes e incluso los múltiplos de un número perfecto son también abundantes.

Solución. Si $\sqrt{k^2-kp}$ es igual a un número natural $n$, entonces $k^2-kp=n^2$. Utilizando la fórmula de las soluciones de la ecuación de segundo grado, podemos despejar \[k=\frac{p\pm\sqrt{p^2+4n^2}}{2}.\] Ahora bien, si $k$ es un número entero, la raíz anterior tiene que ser otro número natural, llamémoslo $m$ y, por tanto, $p^2+4n^2=m^2$. Podemos despejar así $p^2=m^2-4n^2=(m-2n)(m+2n)$. Como $p$ es primo, las únicas factorizaciones posibles de $p^2$ son $p^2=(-1)(-p^2)=(-p)(-p)=p\cdot p=1\cdot p^2$, pero $m-2n$ es menor o igual que $m+2n$ por ser $n$ mayor o igual que cero, y $m+2n$ también es positivo luego tenemos las siguientes dos posibilidades:

• $m-2n=1$, $m+2n=p^2$, de donde $m=\frac{p^2+1}{2}$ y $n=\frac{p^2-1}{4}$.
• $m-2n=p$, $m+2n=p$, de donde $m=p$ y $n=0$.

Sustituyendo estos valores de $m$ en la ecuación de segundo grado para $k$, obtenemos las siguientes posibilidades: \[k=0,\hspace{1cm}k=p,\hspace{1cm}k=\left(\frac{p+1}{2}\right)^2,\hspace{1cm}k=-\left(\frac{p-1}{2}\right)^{2}.\] Las dos primeras son enteras sea cual sea el primo $p$ pero la tercera y la cuarta sólo cuando $p$ es impar, es decir, para $p\geq 3$. Si no consideramos el cero como número natural, tenemos que descartar las dos primeras.

Solución. Es fácil darse cuenta de la solución $x=y=z=0$. Si alguna de las tres incógnitas es cero, obviamente las otras dos también tienen que serlo, luego vamos a suponer que tenemos una solución $(x,y,z)$ donde ninguna de las tres es cero. Podemos suponer además que los tres números no comparten ningún factor común, es decir, el máximo común divisor de los tres es igual a $1$ (podemos dividir la ecuación por el cuadrado del máximo común divisor y obtenemos otros tres números que vuelven a cumplirla).

Trabajando módulo $3$, todo número al cuadrado es congruente con $0$ ó con $1$. Analizando las posibilidades en la ecuación de arriba, llegamos a que $x$ y $y$ han de ser múltiplos de $3$, luego $x=3a$ e $y=3b$ para ciertos enteros $a$ y $b$. Sustituyendo, tenemos que $3a^2+3b^2=z^2$, de donde $z$ también es múltiplo de $3$ y hemos encontrado un factor común a $x$, $y$ y $z$ (el $3$), contradiciendo nuestra suposición, luego la única solución es $x=y=z=0$.

Nota. Otra forma de enfocar esta solución es mediante la técnica del descenso infinito. Observemos además que esto nos dice que no existen números racionales $r$ y $s$ tales que $r^2+s^2=3$ (¿por qué?).

Solución. Todo número impar al cuadrado es congruente con $1$ módulo $8$, mientras que los números pares al cuadrado son congruentes con $0$ ó con $4$ módulo $8$. Una distinción de casos en la ecuación inicial nos lleva directamente a que $x$, $y$ y $z$ han de ser pares los tres, luego podemos escribir $x=2x'$, $y=2y'$, $z=2z'$ y, sustituyendo estos valores en la ecuación inicial, obtenemos que \[(x')^2+(y')^2+(z')^2=4(x')^2(y')^2.\] A estos nuevos números se les puede aplicar el mismo razonamiento para probar que $x'$, $y'$ y $z'$ son pares y el proceso puede repetirse indefinidamente, lo que nos lleva a que $x$, $y$ y $z$ tienen que ser divisibles por cualquier potencia de $2$ y, por tanto, $x=y=z=0$. Se comprueba que esta es una solución de la ecuación y, por tanto, es la única.

Nota. Otra forma equivalente de plantear esta misma solución es mediante la técnica del descenso infinito.