Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si $x=0$, entonces $y=0$ y $z$ puede ser cualquier número. De la misma forma, si $y=0$, entonces $x=0$ y $z$ puede ser cualquier número. Supongamos a partir de ahora que $x$ e $y$ son distintos de cero.

Sea $d$ el máximo común divisor de $x$ e $y$ y escribamos $x=a\cdot d$ e $y=b\cdot d$, donde $a$ y $b$ son enteros primos entre sí. Si dividimos ambos miembros de la ecuación entre $d^2$, obtenemos \[a^2-b^2=2abz.\] Ahora vamos a probar que $a=\pm 1$ y $b=\pm1$. Si $a$ fuera distinto de $\pm 1$, entonces existiría un primo $p$ que divide a $a$, luego $p$ también dividiría a $b^2=a^2-2abz=a(a-2bz)$, contradiciendo que $a$ y $b$ son primos entre sí, luego hemos probado por reducción al absurdo que $a=\pm 1$ y, de la misma forma $b=\pm 1$. De aquí que $x=\pm d$ e $y=\pm d$, es decir, $x$ e $y$ son iguales u opuestos. Tenemos entonces las siguientes soluciones:

• $x=y=0$ y $z$ cualquier número entero.
• $x=y$ cualesquiera y $z=0$.
• $x=-y$ cualesquiera y $z=0$.

Solución. Observemos que los posibles restos de un cuadrado perfecto módulo $9$ son $0$, $1$, $4$ y $7$. Ahora bien, todo número es congruente con la suma de sus cifras módulo $9$ y la suma de las cifras de $N$ (y de cualquier reordenación de sus dígitos) es $102$, que es congruente con $3$ módulo $9$, de donde deducimos que $N$ no puede reordenarse para obtener un cuadrado perfecto.

Solución. Observemos que la ecuación se puede escribir como \[(x-p)(y-p)=p^2.\] Si suponemos que $x\leq y$, como los divisores de $p^2$ son $\pm 1$, $\pm p$ y $\pm p^2$, tendrá que darse alguna de las siguientes posibilidades:

• $x-p=-p^2$, $y-p=-1$, de donde $x=p-p^2$ e $y=p-1$,
• $x-p=-p$, $y-p=-p$, de donde $x=y=0$,
• $x-p=1$, $y-p=p^2$, de donde $x=p+1$ e $y=p^2+p$,
• $x-p=p$, $y-p=p$, de donde $x=y=2p$.

Como la ecuación es simétrica en $x$ e $y$, deducimos que todas las soluciones son $(p-p^2,p-1)$, $(p-1,p-p^2)$, $(0,0)$, $(p+1,p^2+p)$, $(p^2+p,p+1)$ y $(2p,2p)$.

Solución. Los únicos casos en que la igualdad del enunciado es cero son $a=0,b=1$ y $a=1,b=0$, con $p$ cualquier número primo. Ahora bien, en el caso en que no es cero, como $a^2$ no tiene factores en común con $a-1$ y $b^2$ no tiene factores en común con $b-1$, $a-1$ tiene que dividir a $b^2$ y $b-1$ tiene que dividir a $a^2$. Distingamos dos casos dependiendo de cómo se reparte el factor $p^2$ del miembro de la derecha:

• Si $a^2=p^2(b-1)$ y $b^2=a-1$, entonces $a=b^2+1$ y $(b^2+1)^2=p^2(b-1)$ (lo que implica que $b-1$ es un cuadrado perfecto) pero el único posible factor primo común a $(b^2+1)^2$ y $(b-1)$ es el $2$ lo que implica que $b-1$ es una potencia par de dos, esto es $b=2^{2n}+1$ para cierto $n\in\mathbb{N}$ . Si $n=0$, entonces $b=2$ y $a=5$, con lo que $p=5$. Si $n\gt 0$, sustituyendo y simplificando en la igualdad $(b^2+1)^2=p^2(b-1)$, tenemos que $2^{n-1}p=2^{2n-1}+2^n+1$. Como el miembro de la derecha es impar, necesariamente $n=1$, luego $b=5$, $a=26$ y $p=13$.
• El caso en que $a^2=b-1$ y $b^2=p^2(a-1)$ se razona de forma similar y se llega a que $b=5$, $a=2$ y $p=5$, o bien $b=26$, $a=5$ y $p=13$.
• Si $a^2=p(b-1)$ y $b^2=p(a-1)$, entonces $a$ y $b$ son múltiplos de $p$, lo que lleva a que $p(b-1)=a^2$ sea múltiplo de $p^2$ y, por tanto, $b-1$ es múltiplo de $p$, lo cual es una contradicción, ya que no sería primo relativo con $b$.

En definitiva, hemos probado que las únicas ternas de números que son solución del problema son las de la forma $(0,1,p)$, $(1,0,p)$ para $p$ cualquier número primo y $(5,2,5)$, $(2,5,5)$, $(5,26,13)$ y $(26,5,13)$.

Solución. Utilizando la siguiente factorización \[a^4+4b^4=(a^2+2b^2-2ab)(a^2+2b^2+2ab),\] conocida como identidad de Sophie Germain, y aplicándola a $a=2015$ y $b=2^{1007}$, llegamos a que \[2015^4+4^{2015}=(2015^2+2^{2015}-2015\cdot 2^{1008})(2015^2+2^{2015}+2015\cdot 2^{1008}).\] El segundo factor es claramente mayor que uno y el primero también ya que \[2^{2015}+2^{2015}-2015\cdot 2^{1008}\gt 2^{2015}-2015\cdot 2^{1008}=2^{1008}(2^{1007}-2015)>2^{1008},\] luego la anterior factorización de $2015^4+4^{2015}$ nos dice que dicho número es compuesto, dando respuesta negativa a la pregunta del enunciado.