Olimpiadas de Matemáticas
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La base de datos contiene 2434 problemas y 940 soluciones.
Problema 2105
OMCC, 2019-P1
Sea $N=\overline{abcd}$ un entero positivo de cuatro cifras. Llamamos plátano power al menor entero positivo $p(N)=\overline{\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_k}$ que puede insertarse entre los dos números $\overline{ab}$ y $\overline{cd}$ de tal forma que el nuevo número $\overline{ab\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_kcd}$ sea divisible por $N$. Determinar el valor de $p(2025)$.
Nota: la línea superior indica que los elementos que aparecen debajo de ella son los dígitos en el sistema decimal del número así representado.
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Problema 2102
OMCC, 2011-P4
Encontrar todos los enteros positivos $p,q,r$, con $p$ y $q$ números primos, que satisfacen la igualdad
\[\frac{1}{p+1}+\frac{1}{q+1}-\frac{1}{(p+1)(q+1)}=\frac{1}{r}.\]
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Problema 2101
OMCC, 2011-P3
Aplicar un desliz a un entero $n\geq 2$ significa tomar cualquier primo $p$ que divida a $n$ y reemplazar $n$ por $\frac{n+p^2}{p}$. Se comienza con un entero mayor o igual que $5$ y se le aplica un desliz. Al número así obtenido se le aplica un desliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demostrar que sin importar los deslices aplicados, en algún momento se vuelve a obtener el número $5$.
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Problema 2093
OMCC, 2010-P1
Para cada entero positivo $n$, denotamos por $S(n)$ a la suma de sus cifras en el sistema decimal. Encontrar todas las soluciones de la ecuación
\[n(S(n)-1)=2010.\]
pistasolución 1info
Pista. Ten en cuenta que podemos descomponer en factores primos $2010=2\cdot 3\cdot 5\cdot 67$.
Solución. Descomponiendo en factores $2010=2\cdot 3\cdot 5\cdot 67$, llegamos fácilmente a que $2010$ tiene dieciséis divisores. Pueden probarse todos ellos uno a uno, pero podemos ahorrar algunos casos si nos damos cuenta de que $S(n)\equiv n\ (\text{mod }3)$, luego $n$ o $n-1$ tienen que ser múltiplos de $3$. Probamos primero los casos en que $n$ es múltiplo de $3$ y vemos que solo en uno se cumple la ecuación:
- Si $n=3$, entonces $S(n)-1=2$.
- Si $n=3\cdot 2=6$, entonces $S(n)-1=5$.
- Si $n=3\cdot 5=15$, entonces $S(n)-1=5$.
- Si $n=3\cdot 67=201$, entonces $S(n)-1=2$.
- Si $n=3\cdot 2\cdot 5=30$, entonces $S(n)-1=2$.
- Si $n=3\cdot 2\cdot 67=402$, entonces $S(n)-1=5$ (este sí es solución).
- Si $n=3\cdot 5\cdot 67=1005$, entonces $S(n)-1=5$.
- Si $n=3\cdot 2\cdot 5\cdot 67=2010$, entonces $S(n)-1=2$.
Consideremos ahora los casos en que $n-1$ es múltiplo de $3$, en los que podemos ver que no hay soluciones:
- Si $n=1$, entonces $S(n)-1=0$.
- Si $n=67$, entonces $S(n)-1=12$.
- Si $n=2\cdot 5=10$, entonces $S(n)-1=0$.
- Si $n=2\cdot 5\cdot 67=670$, entonces $S(n)-1=12$.
Deducimos así que $n=402$ es la única solución al problema.
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Problema 2092
OMCC, 2009-P6
Encontrar todos los números primos $p$ y $q$ tales que
\[p^3-q^5=(p+q)^2.\]
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