Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si $a=b$, entonces está claro el resultado. Supongamos entonces que $a\gt b$ y dividamos $a$ entre $b$, obteniendo $a=bq+r$, donde $0\leq r\lt b$ es el resto de la división. Repitiendo el proceso del enunciado, pasaremos de $\{a,b\}$ a $\{a-b,b\}$, luego a $\{a-2b,b\}$ y así hasta $\{a-qb,b\}$, es decir, $\{b,r\}$. Otra forma de decir esto es que tras un número de pasos llegaremos a quedarnos con el menor de los números y el resto de la división. Repitiendo esto lo que estamos haciendo es el algoritmo de Euclides para el máximo común divisor, luego llegaremos a que uno de los números se acabará anulando. En el paso previo, los dos números serán iguales e iguales al máximo común divisor de $a$ y $b$.

Solución. Observemos en primer lugar que \[3(3^{n-1}+5^{n-1})=3^n+3\cdot 5^n\lt 3^n+5^n\lt 5\cdot 3^{n-1}+5^n=5(3^{n-1}+5^{n-1})\] luego, si \(3^n+5^n\) es múltiplo de \(3^{n-1}+5^{n-1}\), entonces tiene que ser \(3^n+5^n=4(3^{n-1}+5^{n-1})\). Ahora bien, esto nos lleva a que \(5^n-4\cdot 5^{n-1}=4\cdot 3^{n-1}-3^n\), es decir, \(3^{n-1}=5^{n-1}\), igualdad que sólo se tiene para \(n=1\). Deducimos que el único natural para el que se cumple es \(n=1\) (observemos que, en tal caso, \(3^n+5^n=8\) y \(3^{n-1}+5^{n-1}=2\)).

Solución. La respuesta es afirmativa y un ejemplo es el 471, que cumple que $471^3=104487111$. Veamos cómo obtener este resultado.

Es obvio que los únicos números que al elevarlos al cubo su expresión decimal termina en $1$ son los que de por sí tienen la cifra de las unidades igual a $1$. Ahora bien, si queremos que la cifra de las decenas del cubo también sea $1$, ésta dependerá sólo de las cifras de las decenas y las unidades del número original y, haciendo la multiplicación con el algoritmo usual y poniendo una cifra indeterminada para las decenas, es fácil ver que tiene que ser $7$ para que el cubo termine en $11$. Repitiendo el proceso, se deduce que la de las centenas tiene que ser $4$.

Nota. Es curioso observar que, repitiendo el proceso, podemos llegar a un número que al cubo termine en tantas unos como deseemos. Esto no ocurre con otras potencias distintas del cubo en general.

Solución. Observemos que la expresión decimal de $36^m$ siempre termina en $6$ mientras que la de $5^n$ siempre lo hace en $5$ luego $36^m-5^n$ siempre termina en $1$ independientemente de los valores de $m$ y $n$. Además, para $m=1$ y $n=2$, el resultado es $11$ luego si descartamos que pueda ocurrir $36^m-5^n=1$, habremos terminado y la respuesta será $11$.

Si ocurriera que $36^m-5^n=1$, entonces $(6^m-1)(6^m+1)=36^m-1=5^n$, de donde $6^m+1$ debería ser una potencia de $5$ pero, módulo $5$, este número es congruente con $2$ y hemos llegado a una contradicción.

Solución. Observemos que \(7^2=49\) tiene resto \(19\) al dividirlo entre \(30\) y \(11^2=121\) tiene resto \(1\) al dividirlo entre \(30\). Vamos a demostrar que \(1\) y \(19\) son las únicas posibilidades.

Como \(p^2\) es impar, se tiene que \(p^2\equiv 1\ (\text{mod } 2)\) y, como no es múltiplo de \(3\), se tiene que \(p^2\equiv 1\ (\text{mod } 3)\). Estas dos congruencias nos llevan a que \(p^2\equiv 1\ (\text{mod } 6)\) de donde, módulo \(30\), \(p^2\) puede ser congruente con \(1\), \(7\), \(13\), \(19\) ó \(25\). FInalmente, como \(p^2\) no es múltiplo de \(5\), deducimos que \(p^2\equiv 1\) ó \(p^2\equiv 4\ (\text{mod } 5)\) y, de las posibilidades anteriores, sólo quedan \(1\) y \(19\), como queríamos probar.