Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. No puede haber dos de los primos que sean iguales. Por ejemplo, si $p=q$, entonces el cuadrado queda $(p^2+p)^2(r^2+r)$, luego $r^2+r$ tendría que ser a su vez cuadrado perfecto, pero está estrictamente entre dos cuadrados consecutivos ($r^2$ y $(r+1)^2=r^2+2r+1$). Podemos suponer entonces que $p\lt q\lt r$ sin pérdida de generalidad.

Factorizamos el número del enunciado como \[p(p+1)q(q+1)r(r+1)=n^2.\] Como $r$ es primo y divide a $n^2$, también lo dividirá $r^2$. En otras palabras, alguno de los factores $p,p+1,q,q+1,r+1$ tendrá que ser divisible por $r$. No obstante, $r+1$ no lo es por diferir en una unidad con $r$ y los otros factores $p,p+1,q,q+1$ no pueden tener un factor primo mayor que ellos mismos salvo que $p+1$ o $q+1$ fueran también primos, pero esto último nos diría que $r=3$ y $p=2$ o $q=2$, luego los primos no serían distintos, como hemos supuesto.

Solución. El número $p$ tiene que ser primo ya que $4x^2+p$ tiene que ser primo para $x=0$. También podemos suponer que $p$ es impar ya que $p=2$ no cumple la condición ($f(1)=6$ no es primo para $x=1$ y $p=2$). Ahora bien, todo primo impar cae en uno de los siguientes cuatro casos:

• $p$ es de la forma $4k+1$ con $k\geq 1$. Tomando $x=k$, tenemos que \[4x^2+p=4k^2+4k+1=(2k+1)^2.\] Los factores $2k+1$ son mayores o iguales que $3$, luego $4x^2+p$ es un número compuesto.
• $p$ es de la forma $8k+3$ con $k\geq 0$. Tomando $x=k$ de nuevo, tenemos \[4x^2+p=4k^2+8k+3=(2k+1)(2k+3)\] también es compuesto excepto si $k=0$, lo que nos deja como única posibilidad el primo $p=3$. En tal caso, tenemos que $f(0)=3$, $f(1)=7$, $f(2)=19$ son todos primos.
• $p$ es de la forma $16k+7$ con $k\geq 0$. Volviendo a tomar $x=k$, tenemos \[4x^2+p=4k^2+16k+7=(2k+1)(2k+7)\] también es compuesto salvo si $k=0$, lo que nos da $p=3$. En tal caso, los valores de $f$ son $7,11,23,43,71,107,151$ y son todos primos.
• $p$ es de la forma $16k+15$ con $k\geq 1$. Una vez más $x=k$ nos da \[4x^2+p=4k^2+16k+15=(2k+3)(2k+5),\] que es compuesto siempre.

Deducimos así que las únicas soluciones son $p=3$ y $p=7$.

Solución. El número $3^a+3^b+3^c$ es impar, luego si fuera un cuadrado perfecto sería congruente con $1$ módulo $8$. Ahora bien, módulo $8$, $3^n$ es igual a $1$ si $n$ es par o a $3$ si $n$ es impar. Esto nos dice que $3^a+3^b+3^c$ es la suma de tres números, cada uno igual a $1$ o $3$ y el resultado tiene que ser $1$ módulo $8$. La única posibilidad es que $3^a,3^b,3^c$ sean los tres congruentes con $3$, es decir, que $a,b,c$ sean los tres impares.

Si ponemos que $a\leq b\leq c$ sin perder generalidad, entonces podemos sacar factor común $3^a$ y escribir el número como $3^a(1+3^{b-a}+3^{c-a})$. Como $a$ es impar, $1+3^{b-a}+3^{c-a}$ tiene que ser múltiplo de $3$ para obtener un cuadrado perfecto (tiene que haber un número par de factores $3$), pero esto sólo ocurre cuando $3^{b-a}=3^{c-a}=1$. Por lo tanto, deducimos que tiene que ser $a=b=c$ y todos impares. Está claro que si $a=b=c=2k-1$, entonces $3^a+3^b+3^c=3\cdot 3^{2k-1}=3^{2k}=(3^k)^2$ es un cuadrado perfecto, luego hemos encontrado todas las soluciones.