Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Definimos $a_n$ y $b_n$ como los últimos dígitos de $\lfloor 10^{n/2}\rfloor$ y $\lfloor 2^{n/2}\rfloor$, respectivamente. ¿Son estas sucesiones $\{a_n\}$ y $\{b_n\}$ periódicas a partir de cierto término en adelante?

Nota: como es usual, $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de un número real $x$.

Sea $p$ un primo impar. La sucesión $\{a_n\}_{n\geq 0}$ se define recursivamente como $a_0=0$, $a_1=1$,..., $a_{p-2}=p-2$ y, para todo $n\geq p-1$, $a_n$ es el menor entero positivo que no forma una progresión aritmética de longitud $p$ con términos precedentes. Demostrar que, para todo $n$, $a_n$ es el número obtenido escribiendo $n$ en base $p-1$ y leyéndolo en base $p$.

Sean $k_1\lt k_2\lt k_3\lt\ldots$ enteros positivos entre los cuales no hay dos números consecutivos y sea $s_m=k_1+k_2+\ldots+k_m$ para todo $m\geq 1$. Probar que, para todo entero positivo $n$, el intervalo $[s_n,s_{n+1})$ contiene al menos un cuadrado perfecto.

Encontrar, en función de $n$, la suma de los dígitos del número \[9\times 99\times 9999\times\cdots\times (10^{2^n}-1),\] donde cada factor tiene el doble de dígitos $9$ que el factor precedente.

Demostrar que, para cada $n\geq 1$, la sucesión \[2,\ 2^2,\ 2^{2^2},\ 2^{2^{2^2}},\ldots\quad(\text{mod }n)\] es constante a partir de cierto término en adelante.

Nota: la torre de exponentes se define recursivamente como $a_1=2$ y $a_{k+1}=2^{a_k}$ para tod $k\neq 1$. Además, la notación $(\text{mod }n)$ significa que nos quedamos con el resto módulo $n$ de cada elemento $a_k$.