Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encontrar, en función de $n$, la suma de los dígitos del número \[9\times 99\times 9999\times\cdots\times (10^{2^n}-1),\] donde cada factor tiene el doble de dígitos $9$ que el factor precedente.

Demostrar que, para cada $n\geq 1$, la sucesión \[2,\ 2^2,\ 2^{2^2},\ 2^{2^{2^2}},\ldots\quad(\text{mod }n)\] es constante a partir de cierto término en adelante.

Nota: la torre de exponentes se define recursivamente como $a_1=2$ y $a_{k+1}=2^{a_k}$ para tod $k\neq 1$. Además, la notación $(\text{mod }n)$ significa que nos quedamos con el resto módulo $n$ de cada elemento $a_k$.

Al expresar una fracción irreducible $\frac{m}{n}$ como número decimal, se observa que tiene anteperiodo (es decir, hay al menos un decimal antes del periodo). Demostrar que $n$ es divisible por $2$ o por $5$.

Hallar todas las soluciones de la ecuación \[(m^2+n)(n^2+m)=(m-n)^3,\] siendo $m$ y $n$ enteros no nulos.

¿Cuál es el menor entero $n\geq 1$ para el que la media cuadrática de los primeros $n$ enteros positivos es un entero?

Nota. La media cuadrática de $n$ números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ se define como \[\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}{n}}.\]