Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Queremos colocar números naturales alrededor de una circunferencia de forma que los valores absolutos de las diferencias de dos números consecutivos sean todos distintos.

1. ¿Es posible colocar los números del $1$ al $2009$ cumpliendo esta propiedad?
2. ¿Es posible colocar eliminar uno de los números del $1$ al $2009$ de forma que los $2008$ restantes se pueden colocar cumpliendo esta propiedad?

Sea $P(n)$ el producto de todos los dígitos no nulos de un entero positivo $n$. Por ejemplo, $P(4)=4$, $P(50)=5$, $P(123)=6$ y $P(2009)=18$. Hallar el valor de la suma \[P(1)+P(2)+\ldots+P(2008)+P(2009).\]

Encontrar el menor entero positivo $N$ tal que la suma de sus dígitos es $100$ y la suma de los dígitos de $2N$ es $110$.

Sean $n$ y $m$ enteros positivos de distinta paridad con $n\gt m$. Encontrar todos los enteros $x$ tales que \[\frac{x^{2^n}-1}{x^{2^m}-1}\] es un cuadrado perfecto.

Sea $\mathbb{N}$ el conjunto de enteros positivos. Encontrar todas las funciones $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que para toda pareja de enteros positivos $(x,y)$ se cumplen las siguientes dos condiciones:

• $x$ y $f(x)$ tienen el mismo número de divisores positivos,
• si $x$ no divide a $y$ e $y$ no divide a $x$, entonces \[\mathrm{mcd}(f(x), f(y))\gt f(\mathrm{mcd}(x,y)).\]