Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Para una sucesión $a_1\lt a_2\lt\ldots\lt a_n$ de enteros, decimos que una pareja $(a_i, a_j)$ con $1\leq i\lt j\leq n$ es interesante si existe una pareja $(a_k, a_\ell)$ de enteros con $1\leq k\lt\ell\leq n$ tal que \[\frac{a_{\ell}-a_k}{a_j-a_i}=2.\] Para cada $n\geq 3$, encontrar el mayor número posible de parejas interesantes en una sucesión de longitud $n$.

Decimos que un entero positivo $n$ es peculiar si, para cualquier divisor positivo $d$ de $n$, el entero $d(d+1)$ divide a $n(n+1)$. Demostrar que, para cualesquiera cuatro enteros positivos peculiares distintos $A$, $B$, $C$ y $D$, se cumple que \[\mathrm{mcd}(A, B, C, D) = 1.\]

Dos enteros distintos $u$ y $v$ están escritos en la pizarra. Realizamos una serie de pasos. En cada paso hacemos una de las siguientes acciones:

• Si $a$ y $b$ son enteros distintos en la pizarra, entonces podemos escribir $a+b$ en la pizarra, si no está ya escrito.
• Si $a$, $b$ y $c$ son tres enteros distintos en la pizarra y $x$ es un entero que satisface $ax^2 +bx+c = 0$, entonces podemos escribir $x$ en la pizarra, si no está ya escrito.

Determinar todas las parejas iniciales de números $(u,v)$ para las cuales cualquier entero se puede escribir en la pizarra después de un número finito de pasos.

Sea $s\geq 2$ un entero positivo. Para cada entero positivo $k$ se define su torcimiento $k'$ como sigue: si $k$ se escribe como $as+b$, con $a,b$ enteros no negativos y con $b\lt s$, entonces $k′ = bs+a$.

Sea $n$ un entero positivo y consideremos la sucesión infinita $d_1, d_2,\ldots$ con $d_1=n$ y $d_{i+1}$ el torcimiento de $d_i$ para cada $i$ entero positivo. Demostrar que esta sucesión contiene $1$ si y sólo si el resto de la división de $n$ por $s^2-1$ es $1$ o $s$.

Se dice que una sucesión infinita de enteros positivos $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es húngara si cumple las siguientes dos condiciones:

• $a_1$ es un cuadrado perfecto;
• para todo entero $n\geq 2$, $a_n$ es el menor entero positivo tal que \[na_1 +(n-1)a_2 +\ldots+2a_{n−1}+a_n\] es un cuadrado perfecto.

Probar que si $\{a_1,a_2,\ldots\}$ es una sucesión húngara, entonces existe un entero positivo $k$ tal que $a_n=a_k$ para todo entero $n\geq k$.