Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Nota. La media cuadrática de $n$ números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ se define como \[\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}{n}}.\]

1. ¿Existen $14$ enteros positivos consecutivos tales que cada uno de ellos tiene algún factor primo $2\leq p\leq 11$?
2. ¿Existen $21$ enteros positivos consecutivos tales que cada uno de ellos tiene algún factor primo $2\leq p\leq 13$?

1. Sean $m$ y $n$ números naturales y supongamos que $k_1,k_2,\ldots,k_n$ son enteros no negativos tales que $2^{k_1}+2^{k_2}+\ldots+2^{k_n}$ es divisible por $2^m-1$. Demostrar que $n\geq m$.
2. Encontrar, si es posible, un número de la forma $111\ldots1$ con $m$ unos, tal que la suma de sus dígitos es menor que $m$.